Докажите, что существуют такие натуральные m и n , что |m√2 - n| < 1/10^100.
Докажите, что для любого натурального n количество разбиений n на попарно различные натуральные слагаемые равно количеству разбиений на натуральные нечетные
Докажите, что уравнение
x³ - Dy² = 1 не имеет решений в натуральных числах, если D имеет простой делитель вида p=3k+1.
x³ - Dy² = 1 не имеет решений в натуральных числах, если D имеет простой делитель вида p=3k+1.
❤5👍2
Очень красивая задача по геометрии:
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
Биссектрисы х, у, z углов ∠A, ∠B, ∠C соответственно образуют треугольник Т. Пусть Х и Z основания высот треугольника Т, опущенных на прямые х и z соответственно. Прямая ХZ пересекает сторону AD в точке Р. Докажите, что AP + BC = AB + CD + DP.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
Биссектрисы х, у, z углов ∠A, ∠B, ∠C соответственно образуют треугольник Т. Пусть Х и Z основания высот треугольника Т, опущенных на прямые х и z соответственно. Прямая ХZ пересекает сторону AD в точке Р. Докажите, что AP + BC = AB + CD + DP.
🤯8❤5
Алгебра(автор - @sporegalacticadventures) :
Каждую секунду тройка целых чисел (а, b, с) превра щается в тройку (а - b, b - c, с - а). Какое наименьшее значение может принимать наибольший общий делитель всех чисел тройки через 2026 секунд? Наибольший общий делитель трёх нулей считать равным 2026^2026.
Каждую секунду тройка целых чисел (а, b, с) превра щается в тройку (а - b, b - c, с - а). Какое наименьшее значение может принимать наибольший общий делитель всех чисел тройки через 2026 секунд? Наибольший общий делитель трёх нулей считать равным 2026^2026.
❤6🔥1
Докажите, что если a - отличное от нуля алгебраическое число, то число e^a - трансцендентно.
Для каждого натурального n определим последовательность a(n) = (1+n+... +n^n/n!) * e^(-n) . Сходится ли данная последовательность?
Андрей выписал на доске n чисел, меньших, чем n-ое по счёту простое число. Докажите, что какое-то из выписанных чисел является делителем произведения остальных n чисел.
Существуют ли такие три натуральных числа, сумма квадратов которых равна их удвоенному произведению?
На n карточках написаны натуральные числа от 1 до n, каждое по одному разу. Оказалось, что для любого остатка r при делении на 100 можно выбрать несколько карточек (возможно, одну), так что произведение чисел на них даёт остаток r при делении на 100. Докажите, что n ⩾ 17.
Forwarded from Сухая статистика
[IMO, 2012, P1] В треугольнике ABC точка J - центр вневписанной окружности напротив вершины A. Эта вневписанная окружность касается стороны BC в точке M, а продолжений сторон AB и AC - в точках K и L соответственно. Прямые LM и BJ пересекаются в точке F, а прямые KM и CJ - в точке G. Пусть S - точка пересечения прямых AF и BC, и пусть T - точка пересечения прямых AG и BC.
Докажите, что M - середина ST.
Докажите, что M - середина ST.
🔥6