Непростая задача с колма:

Несложная алгебра с СПбГУ:

Докажите формулу для чисел Фиббоначи:

Даны положительные числа a, b, c. Известно, что:
a+b>=ab
b+c>=bc
c+a>=ca

Найдите минимум дроби (a+b+c)/abc.

Числа x, y, z таковы, что x, y, z>0 и xyz=1.

Докажите следующее неравенство:

Докажите, что при любом натуральном n [1,2,3,...,2n+1] > 4^n , где [1,2,...,2n+1] - наименьшее общее кратное чисел 1,2,..2n+1.

Решение:

Докажите неравенство для любого натурального n:

Алгебра:

Две параболы пересекаются в 4 точках, оси симметрии их перпендикулярны. Доказать что эти 4 точки лежат на одной окружности.

Баян:
a²+b²+c²=1
Найдите максимум следующего выражения:

ab+bc√3

Докажите, что существуют такие натуральные m и n , что |m√2 - n| < 1/10^100.

Докажите, что для любого натурального n количество разбиений n на попарно различные натуральные слагаемые равно количеству разбиений на натуральные нечетные

Докажите, что уравнение
x³ - Dy² = 1 не имеет решений в натуральных числах, если D имеет простой делитель вида p=3k+1.

Докажите коллинеарность точек:

Очень красивая задача по геометрии:

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
Биссектрисы х, у, z углов ∠A, ∠B, ∠C соответственно образуют треугольник Т. Пусть Х и Z основания высот треугольника Т, опущенных на прямые х и z соответственно. Прямая ХZ пересекает сторону AD в точке Р. Докажите, что AP + BC = AB + CD + DP.

Докажите неравенство: