Небольшая задача.
Заёмщик взял кредит в банке. В январе каждого года остаток долга увеличивается на p%, после чего производится очередной платёж. Второй платёж оказался на 100 тыс. рублей меньше предусмотренного графиком. К третьему и четвёртому платежам заёмщик дополнительно внёс 50 тыс. рублей и 66 тыс. рублей соответственно, после чего кредит вернулся в первоначальный график погашения.
Найдите процентную ставку банка.
Подсказка: достаточно проследить судьбу недоплаченных 100 тыс. рублей.
#проценты #задача
Заёмщик взял кредит в банке. В январе каждого года остаток долга увеличивается на p%, после чего производится очередной платёж. Второй платёж оказался на 100 тыс. рублей меньше предусмотренного графиком. К третьему и четвёртому платежам заёмщик дополнительно внёс 50 тыс. рублей и 66 тыс. рублей соответственно, после чего кредит вернулся в первоначальный график погашения.
Найдите процентную ставку банка.
#проценты #задача
В классе 25 учеников. Известно, что у любых двух учеников различается количество друзей в этом классе. Может ли такое быть?
Anonymous Quiz
43%
Да
57%
Нет
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются под прямым углом. Три его стороны имеют длины 2, 5 и 10.
Найдите наибольшую возможную длину четвёртой стороны.
После проведения диагоналей четырёхугольник разбивается на 4 прямоугольных треугольника.
#задача #геометрия
Найдите наибольшую возможную длину четвёртой стороны.
#задача #геометрия
Скоро экзамены, поэтому напомню одну простую вещь.
На экзамене не нужно решать задачу самым красивым способом, быстрее всех или самым оригинальным методом. Нужно получить верный ответ и обосновать его.
Иногда длинное и понятное решение приносит больше баллов, чем короткое и гениальное, которое проверяющий не сможет понять.
Математика — это не только идеи, но и умение аккуратно их записывать.
На экзамене не нужно решать задачу самым красивым способом, быстрее всех или самым оригинальным методом. Нужно получить верный ответ и обосновать его.
Иногда длинное и понятное решение приносит больше баллов, чем короткое и гениальное, которое проверяющий не сможет понять.
Математика — это не только идеи, но и умение аккуратно их записывать.
💯1
В семье двое детей.
Известно, что один из них — мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже мальчик?
Anonymous Quiz
50%
1/2
25%
1/3
13%
1/4
13%
2/3
0%
1
Монету бросают три раза.
Известно, что хотя бы один раз выпал орёл. Какова вероятность того, что орёл выпал ровно один раз?
Известно, что хотя бы один раз выпал орёл. Какова вероятность того, что орёл выпал ровно один раз?
Anonymous Quiz
0%
1/7
11%
1/3
44%
3/7
44%
3/8
Небольшая задача.
Докажите, что среди любых 6 человек найдутся либо 3 попарно знакомых, либо 3 попарно незнакомых.
Ответы и идеи решения можно покидать в комментарии 👀
#комбинаторика #задача
Докажите, что среди любых 6 человек найдутся либо 3 попарно знакомых, либо 3 попарно незнакомых.
Ответы и идеи решения можно покидать в комментарии 👀
#комбинаторика #задача
👀1🆒1
На плоскости проведены 17 прямых. Известно, что любые две пересекаются и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей эти прямые делят плоскость?
#комбинаторика #геометрия
#комбинаторика #геометрия
Все знают признаки делимости на 2, 3, 5 и 9. Но есть и менее известные:
🔹 На 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на 11.
Например:
31416 → (3+4+6) − (1+1) = 11.
Значит, число делится на 11.
🔹 На 7
Отбрасываем последнюю цифру и вычитаем её удвоенное значение из оставшейся части числа.
203 → 20 − 2·3 = 14.
14 делится на 7, значит и 203 делится на 7.
🔹 На 13
Отбрасываем последнюю цифру и прибавляем её учетверённое значение к оставшейся части числа.
299 → 29 + 4·9 = 65.
65 делится на 13, значит и 299 делится на 13.
А какой из этих признаков вы видите впервые? 👀
#теория_чисел
🔹 На 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на 11.
Например:
31416 → (3+4+6) − (1+1) = 11.
Значит, число делится на 11.
🔹 На 7
Отбрасываем последнюю цифру и вычитаем её удвоенное значение из оставшейся части числа.
203 → 20 − 2·3 = 14.
14 делится на 7, значит и 203 делится на 7.
🔹 На 13
Отбрасываем последнюю цифру и прибавляем её учетверённое значение к оставшейся части числа.
299 → 29 + 4·9 = 65.
65 делится на 13, значит и 299 делится на 13.
А какой из этих признаков вы видите впервые? 👀
#теория_чисел
Небольшое наблюдение.
При решении систем и совокупностей важно не только получить правильный ответ, но и не потерять логику рассуждений по пути.
Часто ученики держат её в голове и не записывают:
— откуда взялась система;
— почему рассматриваются именно эти случаи;
— какое множество решений получается на каждом шаге.
В результате решение выглядит как набор преобразований, между которыми отсутствуют логические связи. Особенно это заметно в задачах с модулями, параметрами и неравенствами.
Хорошая привычка — периодически задавать себе вопрос: «Какое множество решений я рассматриваю сейчас и почему?»
Такая проверка помогает не только оформить решение, но и заметить ошибки до того, как они попадут в ответ.
#оформление #идея
При решении систем и совокупностей важно не только получить правильный ответ, но и не потерять логику рассуждений по пути.
Часто ученики держат её в голове и не записывают:
— откуда взялась система;
— почему рассматриваются именно эти случаи;
— какое множество решений получается на каждом шаге.
В результате решение выглядит как набор преобразований, между которыми отсутствуют логические связи. Особенно это заметно в задачах с модулями, параметрами и неравенствами.
Хорошая привычка — периодически задавать себе вопрос: «Какое множество решений я рассматриваю сейчас и почему?»
Такая проверка помогает не только оформить решение, но и заметить ошибки до того, как они попадут в ответ.
#оформление #идея
Небольшое наблюдение.
Решите уравнение: (x−1)(x−2)(x−4)(x−5)=9.
На первый взгляд хочется раскрыть скобки и получить уравнение четвёртой степени. Но прежде чем считать, полезно посмотреть на условие. Числа 1 и 5 симметричны относительно 3. Числа 2 и 4 тоже. Поэтому удобно сгруппировать множители:
(x−1)(x−5)=((x−3)+2)((x−3)−2),
(x−2)(x−4)=((x−3)+1)((x−3)−1).
После этого естественно появляется замена
t=(x−3)².
Очень часто решение задачи начинается не с вычислений и не с формул.
Оно начинается с вопроса: «Что особенного в этом условии?»
#идея #алгебра
Решите уравнение: (x−1)(x−2)(x−4)(x−5)=9.
На первый взгляд хочется раскрыть скобки и получить уравнение четвёртой степени. Но прежде чем считать, полезно посмотреть на условие. Числа 1 и 5 симметричны относительно 3. Числа 2 и 4 тоже. Поэтому удобно сгруппировать множители:
(x−1)(x−5)=((x−3)+2)((x−3)−2),
(x−2)(x−4)=((x−3)+1)((x−3)−1).
После этого естественно появляется замена
t=(x−3)².
Очень часто решение задачи начинается не с вычислений и не с формул.
Оно начинается с вопроса: «Что особенного в этом условии?»
#идея #алгебра
❤1
Небольшое наблюдение.
Одна из самых распространённых ошибок в математике — считать, что любое преобразование сохраняет множество решений.
На самом деле это не так.
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
Деление на выражение — к потере решений.
Сокращение дроби — к тому, что некоторые случаи перестают рассматриваться.
Поэтому после каждого преобразования полезно задавать себе вопрос:
«Я получил равносильную задачу или лишь необходимое (или достаточное) условие?»
Именно понимание этой разницы лежит в основе грамотной работы с системами, совокупностями и проверки найденных решений.
#идея #алгебра
Одна из самых распространённых ошибок в математике — считать, что любое преобразование сохраняет множество решений.
На самом деле это не так.
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
Деление на выражение — к потере решений.
Сокращение дроби — к тому, что некоторые случаи перестают рассматриваться.
Поэтому после каждого преобразования полезно задавать себе вопрос:
«Я получил равносильную задачу или лишь необходимое (или достаточное) условие?»
Именно понимание этой разницы лежит в основе грамотной работы с системами, совокупностями и проверки найденных решений.
#идея #алгебра
❤2
Верите ли вы, что существует бесконечно много натуральных чисел, запись которых состоит только из цифры 1 и которые делятся на 2027? 🤔
Anonymous Quiz
67%
Да
33%
Нет
Математика без воды
Верите ли вы, что существует бесконечно много натуральных чисел, запись которых состоит только из цифры 1 и которые делятся на 2027? 🤔
Рассмотрим числа: 1, 11, 111, 1111, …
Если взять первые 2027 таких чисел и разделить каждое из них на 2027, то возможны лишь 2027 различных остатков.
Если среди остатков есть 0 — задача решена.
Если нет, то по принципу Дирихле найдутся два числа, дающие одинаковый остаток. Их разность делится на 2027.
Но разность двух таких чисел снова представляет собой число, состоящее только из единиц, умноженное на степень 10.
Так как 2027 не делится ни на 2, ни на 5, степень 10 можно «убрать», и останется число, состоящее только из единиц, которое делится на 2027.
Более того, это рассуждение работает для любого натурального числа, взаимно простого с 10.
Мы доказали, что существует число из одних единиц, делящееся на 2027. Пусть оно состоит из k единиц.
Тогда числа, состоящие из 2k, 3k, 4k, … единиц, тоже будут делиться на 2027, поскольку каждое из них кратно первому.
Следовательно, таких чисел бесконечно много.
Если взять первые 2027 таких чисел и разделить каждое из них на 2027, то возможны лишь 2027 различных остатков.
Если среди остатков есть 0 — задача решена.
Если нет, то по принципу Дирихле найдутся два числа, дающие одинаковый остаток. Их разность делится на 2027.
Но разность двух таких чисел снова представляет собой число, состоящее только из единиц, умноженное на степень 10.
Так как 2027 не делится ни на 2, ни на 5, степень 10 можно «убрать», и останется число, состоящее только из единиц, которое делится на 2027.
Более того, это рассуждение работает для любого натурального числа, взаимно простого с 10.
Мы доказали, что существует число из одних единиц, делящееся на 2027. Пусть оно состоит из k единиц.
Тогда числа, состоящие из 2k, 3k, 4k, … единиц, тоже будут делиться на 2027, поскольку каждое из них кратно первому.
Следовательно, таких чисел бесконечно много.
❤3
В комментариях к прошлой задаче появилась интересная идея — воспользоваться теоремой Эйлера. Не углубляясь в подробности, для простых чисел она утверждает следующее:
Если число p — простое и не делит число a, то число a^(p−1) при делении на p даёт остаток 1.
В нашем случае 2027 — простое число, поэтому
10^2026 ≡ 1 (mod 2027).
Значит, число
(10^2026 − 1) / 9, то есть число, состоящее из 2026 единиц, делится на 2027.
Конечно, это не самое маленькое такое число. Но мне очень нравится сама идея: в прошлой задаче мы лишь доказали существование нужного числа, а теперь смогли выписать вполне конкретный пример.
🤔 А теперь вопрос на подумать:
А какое наименьшее число, состоящее только из единиц, делится на 2027?
#теория_чисел #теорема_Эйлера
Если число p — простое и не делит число a, то число a^(p−1) при делении на p даёт остаток 1.
В нашем случае 2027 — простое число, поэтому
10^2026 ≡ 1 (mod 2027).
Значит, число
(10^2026 − 1) / 9, то есть число, состоящее из 2026 единиц, делится на 2027.
Конечно, это не самое маленькое такое число. Но мне очень нравится сама идея: в прошлой задаче мы лишь доказали существование нужного числа, а теперь смогли выписать вполне конкретный пример.
🤔 А теперь вопрос на подумать:
А какое наименьшее число, состоящее только из единиц, делится на 2027?
#теория_чисел #теорема_Эйлера
❤2