Разбираемся с вопросами выше👆
1. Бесконечно много решений у уравнения будет в том случае, если оно превратится в тождество 0=0, то есть при a=0 и b=0. Правильный ответ: Б.
2. Если у уравнения 2 корня, то D>0. Рассмотрим случай направления ветвей параболы вверх. Тогда значение в любой точке, лежащей между корнями, будет меньше нуля. Правильный ответ: Г. Замечу, что есть еще одна ситуация, когда ветви параболы направлены вниз, тогда f(M) будет больше нуля.
3. Стандартное уравнение окружности. Правильный ответ: Г. Кто решает параметры, обратите внимание, что окружность часто встречается на ЕГЭ.
4. Еще один стандартный прием, который может оказаться полезным не только в задаче с параметром, но и в первой части в задании №11, в котором надо восстановить квадратичную функцию. По координатам вершины (если они целые) это сделать легко и просто. Правильный ответ: Б.
5. Помните, что если в уравнении есть икс в квадрате, то это еще не означает, что уравнение квадратное? При а=0 получим линейное уравнение, у которого 1 корень (найдите его в явном виде), а при а не равном нулю посчитаем дискриминант: он положительный, следовательно, в этом случае у уравнения 2 корня. Правильный ответ: А.
Если вы верно ответили на все 5 вопросов, вы на верном пути. Дерзайте!

На курсе в завершение календарного года мы перешли к изучению функционального метода решения задач с параметрами и научились решать задание №11 первой части – работать с функциями и их графиками. Сегодня предлагаю вспомнить графики функций в общем виде. Казалось бы, материал элементарный, но именно элементарные вещи зачастую вызывают больше всего вопросов. Собрал для вас на одной картинке графики наиболее распространенных на ЕГЭ функций. Какие функции вы бы добавили на картинку и с какими сталкиваетесь чаще всего в процессе подготовки?

Вы наверняка знаете, что функция – это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой. Но знаете ли вы, как коэффициенты различных функций взаимосвязаны с их графиками? Давайте разбираться.

График функции – это визуальное представление функциональной зависимости, где значения независимой переменной (x) откладываются по оси абсцисс, а значения зависимой переменной (y) – по оси ординат. Коэффициенты функций – это числовые параметры, которые определяют форму, положение и другие характеристики графика. Предлагаю рассмотреть влияние коэффициентов на примере трех функций – линейной, квадратичной и функции арифметического корня.

1. Начнем с линейной функции y=kx+m, графиком которой является прямая.
Угловой коэффициент прямой k – тангенс угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Если k больше нуля, то прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, если меньше – тупой угол. При k = 0 прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней (при m=0).
Коэффициент 𝑚 является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат. При m = 0, прямая проходит через начало координат.

2. Графиком квадратичной функции y=ax^2+bx+c является парабола, для которой вид и положение на плоскости также определяются коэффициентами.
Коэффициент a влияет на форму параболы (растягивает или сжимает) и определяет направление ветвей. При положительном значении коэффициента a ветви направлены вверх, при отрицательном – вниз.
Коэффициент 𝑐 является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат. При c = 0, парабола проходит через начало координат.

3. Арифметический корень y=a√(x+b)+c и его график – одна ветвь параболы.
Для функции арифметического корня коэффициенты b и c задают координаты вершины графика, которые определяются как (-b; c).
Коэффициент a отвечает за вид графика (сжимает или растягивает) и за возрастание или убывание функции. Если a больше нуля – функция возрастает, если меньше – убывает.

Коэффициенты функций и их роль – то, что нужно не просто запомнить, а понять для успешного решения задания №11.

Решение сложных уравнений и неравенств на ЕГЭ требует системного подхода и хорошей подготовки.

Уравнения, представленные на экзамене, включают несколько типов: тригонометрические, показательные, логарифмические и смешанные. Тригонометрические уравнения встречаются наиболее часто. Для их решения важно знать методы преобразования, введения вспомогательного угла, свойства функций и не только. Показательные уравнения требуют понимания свойств степеней, а логарифмические — свойств логарифмов и формулы перехода к новому основанию. В смешанных уравнениях нужно уметь комбинировать методы и учитывать ограничения.

Неравенства также разнообразны. Здесь встречаются рациональные и иррациональные, показательные, логарифмические и смешанные неравенства. Например, для иррациональных неравенств важно учитывать ограничения подкоренного выражения, а для показательных – свойства монотонности. Логарифмические неравенства требуют точности в определении области допустимых значений (ОДЗ). Смешанные типы задач могут включать различные комбинации функций и требуют комплексного подхода.

Алгоритм успешного решения таких задач состоит из определения ОДЗ, упрощения выражений и последовательного применения методов. Ошибки часто возникают из-за игнорирования ОДЗ или неправильных преобразований, поэтому необходимо проверять каждый шаг и найденное решение.

Практика с прототипами заданий, разбор сложных примеров и внимание к деталям помогут справиться с заданиями любого уровня сложности. Развивайте аналитическое мышление и уверенность в своих знаниях – это ключ к успешной сдаче экзамена.

Без прочной теоретической базы решение задач становится гораздо сложнее. Сегодня предлагаю вспомнить некоторые теоретические аспекты решения уравнений и неравенств. Ваша задача – выбрать верный ответ. Поехали!

Подготовил для вас не самое простое тригонометрическое уравнение. Делитесь своими решениями в комментариях.

Кто справился сам - умница!
У кого пока не получается, держите решение.
Если подобную дадут на ЕГЭ, решаемость пункта б) упадет катастрофически. Если вовремя не подтянуть метод сравнения чисел до нужного уровня.💯

СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА ГОДОВЫЕ КУРСЫ

Ловите возможность и успевайте начать подготовку к ЕГЭ под руководством преподавателей школы Математика МГУ 🚀

Ребята, наступил экватор на пути подготовки к ЕГЭ-2025. Кто активно включился и занимается с сентября - вы молодцы!
Кто только приступает - сейчас самое время!

⚡️Мы закрываем продажи годовых курсов, в связи с чем запускаем специальное предложение

Переходите на сайт, выбирайте удобный тариф и подключайтесь по выгодным ценам ⬇️

https://3.shkolkovo.online/math-msu

💡Бонусом вы получаете записи всех занятий, начиная с сентября

КАЖДЫЙ ГОД ОДНИ И ТЕ ЖЕ ОШИБКИ

YouTube:
VK:

Каждый год выпускники на экзамене делают одни и те же ошибки, которые приводят к обидной потере баллов.

Это как ошибки в вычислениях, так и по невнимательности.

🔥 В этом видео я перечисляю основные, наиболее часто допускаемые ошибки и даю советы, что надо делать, чтобы не повторять печальный опыт ваших предшественников.

❗️Смотрим ролик внимательно


P.S. Попробуйте найти в этом видео ошибки, которые не исправлены 😉

На ЕГЭ по математике многие школьники не приступают к задаче 19 и даже не читают её. И очень напрасно!
Задача 19 состоит из трёх пунктов, среди которых есть совсем несложные. Сделав хотя бы часть задачи (скажем, просто предъявив нужный пример в пункте а или б), можно получить себе в копилку дополнительные первичные баллы.

Для решения задачи 19 необходим минимальный запас знаний. Это арифметика 6-го класса (всё, что связано с делимостью) и сведения по прогрессиям из алгебры 9-го класса.

Почему же задача 19 считается (и, иногда, является) самой сложной на ЕГЭ по математике? Она нестандартна. Она требует так называемой математической культуры – умения грамотно строить рассуждения. А умение это у подавляющего большинства школьников отсутствует начисто – ведь в школе, к сожалению, до развития математической культуры дело обычно не доходит.

Учиться культурно рассуждать можно и обязательно нужно. Задача 19 предоставляет для этого отличную возможность. Но здесь получаться начнёт далеко не сразу, так что готовиться к 19 следовало начинать задолго до ЕГЭ. Рецепт тут один: решать, решать и решать.

Для решения №19 необходима следующая основная теория:
1. Числовые множества
2. Делимость чисел и признаки делимости
3. Четность и нечетность чисел
4. Деление с остатком
5. Простые и составные числа, разложение на множители
6. Взаимно простые числа, НОК и НОД. Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей кроме 1.
7. Последовательности
8. Арифметическая и геометрическая прогрессии
9. Инвариант и полуинвариант.

Инвариант – это величина, которая остается неизменной при определенных преобразованиях. Проще говоря, что бы мы ни делали с объектом, эта его характеристика остается точно такой же. Полуинвариант меняется, но монотонно, то есть либо всегда возрастает, либо всегда убывает.

Пройдитесь по этому списку еще раз и осознайте, что на курсе мы изучили 8 тем из 9. Осталось познакомиться с инвариантами и полуинвариантами и в путь: практика, практика и еще раз практика. 💯

Если я оплачиваю помесячно, останется ли возможность продлевать подписку?

Всем нам иногда хочется немного заглянуть в будущее и узнать, что же ждет нам дальше. Предлагаю воспользоваться старой доброй традицией и «погадать» на печеньках. Готовы узнать, что судьба приготовила для вас? Перед вами волшебные печеньки с предсказаниями. Выбирайте одну — и она скоро откроется, раскрыв тайны будущего.

Не будем тянуть кота за хвост - раздаю всем сестрам по серьгам. Или по печенькам.
Сам бы я выбрал №8, если бы такой вариант был))

А если знать ответы заранее, то №4.

Прошли последние занятия в 2024 году и настало время подвести промежуточные итоги нашей с вами подготовки к ЕГЭ. 4 месяца – это, казалось бы, не так уж и много, но мы проделали просто колоссальную работу.

В первой части мы познакомились со следующими темами и заданиями:
Задача №1 – тригонометрия треугольника
Задача №2 – координаты и векторы
Задача№4 – теория вероятностей
Задача №6 – простейшие уравнения
Задача№7 – преобразование выражений
Задача№9 – текстовые задачи с практическим содержанием
Задача №10 – текстовые задачи на составление уравнений
Задача №11 – функции и графики
Нам осталось углубиться в планиметрию и стереометрию, сложную теорию вероятностей, познакомиться с производной и с исследованием функций и к первой части будем готовы на все 100.

Касательно второй части был пройден очень внушительный по объемам материал:
Задание №13 – сложные показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, смешанные уравнения, отбор корней с помощью тригонометрической окружности, неравенствами и методом подбора.
Задание 15 – рациональные, показательные неравенства и логарифмические неравенства с числовым основанием и с переменным основанием, метод интервалов и метод рационализации для показательных и логарифмических неравенств.
Задание 17 – теорема Пифагора, теорема косинусов, подобие треугольников, теоремы Фалеса и Менелая, медиана и биссектриса треугольника, углы, связанные с окружностью, хорда, секущая и касательная, описанная окружность, вписанные и описанные четырехугольники, вписанная окружность, вневписанные окружности, свойства ортоцентра, параллелограммы, прямоугольники, ромбы, квадраты и трапеции.
Задание 18 – линейные и рациональные уравнения и неравенства, квадратные уравнения, теорема Виета и расположение корней квадратного трехчлена, научились решать параметры аналитикой, графическим методом, методом хОа и приступили к функциональному методу.
Задание 19 – свойства и признаки делимости, остатки от деления, десятичная запись числа, делители, НОД и НОК, уравнения в целых числах, среднее арифметическое, арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательности.

Самое время похвалить себя за пройденный путь, хорошенько отдохнуть и набраться сил. Новогодние каникулы – прекрасное время для того, чтобы восстановить все потраченные ресурсы и продолжить идти вперед. Увидимся на занятиях в новом 2025 году!

Я горжусь вами! Половина пути пройдена. Во втором полугодии нам предстоит закрепить достигнутое и освоить оставшийся материал, чтобы полностью подготовиться к экзамену.💯