70 БАЛЛОВ ЗА 15 МИНУТ

Какова бы ни была ваша конечная цель на ЕГЭ, решать первую часть необходимо каждому 🙌

С учетом количества баллов, которые дают за 12 задач, и уровнем сложности этих задач, ваша цель становится достижимой. Но для этого надо быстро и уверенно решить эти задания. Вы же знаете, что все они берутся из открытого банка ФИПИ.

В этом видео с шутками-прибаутками разматываем первую часть и убеждаемся: легко!

YouTube

VK

Закроем вопрос по ОДЗ двух неравенств.

В задаче 1 правильный ответ - №3.
В ОДЗ должны быть отражены условия:
основание логарифма больше нуля
основание логарифма не равно единице
выражение под знаком каждого логарифма больше нуля
знаменатель дроби не равен нулю

В задаче 2 правильный ответ - №2.
Такие же ограничения, как и в задаче 1, но помним, что здесь есть повторный логарифм.

Завершающая ступень на пути к полному познанию параметров – функциональный метод решения. Что же это за метод? Давайте разбираться.

При решении заданий с параметром функциональный метод решения эффективен в случаях, когда уравнение или его части легко представляются в виде некоторых функций. Например, уравнение f(x) = g(x) можно рассматривать как равенство двух функций. Тогда количество решений уравнения f(x) = g(x) равно количеству общих точек графиков этих функций.

В основе применения метода лежит использование свойств функций, таких как:
Непрерывность
Монотонность
Ограниченность
Четность/нечетность.
Периодичность
Дифференцируемость

Любое из свойств функций может быть ключом к успеху в решении, главное – найти этот ключ. Функциональный метод зачастую сложнее дается ученикам в контексте понимания, но иногда применение этого метода может сократить затраты времени на решение в несколько раз.

А вы уже знакомы с функциональным методом решения? Делитесь в комментариях.
В качестве бонуса теста предлагаю решить некоторые задачи из тех, что мы сегодня рассматривали на занятии.

О чем следует вспомнить перед знакомством с функциональным методом решения – это монотонность функций.

Напоминаю, монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция f(x) называется монотонно возрастающей на интервале I, если для любых двух чисел x1 и x2 из интервала I таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1) ≤ f(x2). Это означает, что функция увеличивает свое значение по мере увеличения аргумента.

Функция f(x) называется монотонно убывающей на интервале I, если для любых двух чисел x1 и x2 из интервала I таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1) ≥ f(x2). Это означает, что функция уменьшает свое значение по мере увеличения аргумента.

Если функция не подчиняется ни одному из вышеуказанных определений (то есть она может как возрастать, так и убывать), то она называется немонотонной.

Важное свойство монотонности: сумма возрастающих функций есть возрастающая функция, сумма убывающих функций – убывающая функция.

Между прочим, задачи 3 и 4 из файла выше предлагались на реальном ЕГЭ и решаются они с использованием монотонности. С этой подсказкой получится решить самостоятельно?

Предлагаю освежить теоретические знания о параметрах, размяться и поиграть. Все как обычно – один вопрос и четыре варианта ответа. Поехали!

Разбираемся с вопросами выше👆
1. Бесконечно много решений у уравнения будет в том случае, если оно превратится в тождество 0=0, то есть при a=0 и b=0. Правильный ответ: Б.
2. Если у уравнения 2 корня, то D>0. Рассмотрим случай направления ветвей параболы вверх. Тогда значение в любой точке, лежащей между корнями, будет меньше нуля. Правильный ответ: Г. Замечу, что есть еще одна ситуация, когда ветви параболы направлены вниз, тогда f(M) будет больше нуля.
3. Стандартное уравнение окружности. Правильный ответ: Г. Кто решает параметры, обратите внимание, что окружность часто встречается на ЕГЭ.
4. Еще один стандартный прием, который может оказаться полезным не только в задаче с параметром, но и в первой части в задании №11, в котором надо восстановить квадратичную функцию. По координатам вершины (если они целые) это сделать легко и просто. Правильный ответ: Б.
5. Помните, что если в уравнении есть икс в квадрате, то это еще не означает, что уравнение квадратное? При а=0 получим линейное уравнение, у которого 1 корень (найдите его в явном виде), а при а не равном нулю посчитаем дискриминант: он положительный, следовательно, в этом случае у уравнения 2 корня. Правильный ответ: А.
Если вы верно ответили на все 5 вопросов, вы на верном пути. Дерзайте!

На курсе в завершение календарного года мы перешли к изучению функционального метода решения задач с параметрами и научились решать задание №11 первой части – работать с функциями и их графиками. Сегодня предлагаю вспомнить графики функций в общем виде. Казалось бы, материал элементарный, но именно элементарные вещи зачастую вызывают больше всего вопросов. Собрал для вас на одной картинке графики наиболее распространенных на ЕГЭ функций. Какие функции вы бы добавили на картинку и с какими сталкиваетесь чаще всего в процессе подготовки?

Вы наверняка знаете, что функция – это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой. Но знаете ли вы, как коэффициенты различных функций взаимосвязаны с их графиками? Давайте разбираться.

График функции – это визуальное представление функциональной зависимости, где значения независимой переменной (x) откладываются по оси абсцисс, а значения зависимой переменной (y) – по оси ординат. Коэффициенты функций – это числовые параметры, которые определяют форму, положение и другие характеристики графика. Предлагаю рассмотреть влияние коэффициентов на примере трех функций – линейной, квадратичной и функции арифметического корня.

1. Начнем с линейной функции y=kx+m, графиком которой является прямая.
Угловой коэффициент прямой k – тангенс угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Если k больше нуля, то прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, если меньше – тупой угол. При k = 0 прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней (при m=0).
Коэффициент 𝑚 является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат. При m = 0, прямая проходит через начало координат.

2. Графиком квадратичной функции y=ax^2+bx+c является парабола, для которой вид и положение на плоскости также определяются коэффициентами.
Коэффициент a влияет на форму параболы (растягивает или сжимает) и определяет направление ветвей. При положительном значении коэффициента a ветви направлены вверх, при отрицательном – вниз.
Коэффициент 𝑐 является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат. При c = 0, парабола проходит через начало координат.

3. Арифметический корень y=a√(x+b)+c и его график – одна ветвь параболы.
Для функции арифметического корня коэффициенты b и c задают координаты вершины графика, которые определяются как (-b; c).
Коэффициент a отвечает за вид графика (сжимает или растягивает) и за возрастание или убывание функции. Если a больше нуля – функция возрастает, если меньше – убывает.

Коэффициенты функций и их роль – то, что нужно не просто запомнить, а понять для успешного решения задания №11.

Решение сложных уравнений и неравенств на ЕГЭ требует системного подхода и хорошей подготовки.

Уравнения, представленные на экзамене, включают несколько типов: тригонометрические, показательные, логарифмические и смешанные. Тригонометрические уравнения встречаются наиболее часто. Для их решения важно знать методы преобразования, введения вспомогательного угла, свойства функций и не только. Показательные уравнения требуют понимания свойств степеней, а логарифмические — свойств логарифмов и формулы перехода к новому основанию. В смешанных уравнениях нужно уметь комбинировать методы и учитывать ограничения.

Неравенства также разнообразны. Здесь встречаются рациональные и иррациональные, показательные, логарифмические и смешанные неравенства. Например, для иррациональных неравенств важно учитывать ограничения подкоренного выражения, а для показательных – свойства монотонности. Логарифмические неравенства требуют точности в определении области допустимых значений (ОДЗ). Смешанные типы задач могут включать различные комбинации функций и требуют комплексного подхода.

Алгоритм успешного решения таких задач состоит из определения ОДЗ, упрощения выражений и последовательного применения методов. Ошибки часто возникают из-за игнорирования ОДЗ или неправильных преобразований, поэтому необходимо проверять каждый шаг и найденное решение.

Практика с прототипами заданий, разбор сложных примеров и внимание к деталям помогут справиться с заданиями любого уровня сложности. Развивайте аналитическое мышление и уверенность в своих знаниях – это ключ к успешной сдаче экзамена.

Без прочной теоретической базы решение задач становится гораздо сложнее. Сегодня предлагаю вспомнить некоторые теоретические аспекты решения уравнений и неравенств. Ваша задача – выбрать верный ответ. Поехали!

Подготовил для вас не самое простое тригонометрическое уравнение. Делитесь своими решениями в комментариях.

Кто справился сам - умница!
У кого пока не получается, держите решение.
Если подобную дадут на ЕГЭ, решаемость пункта б) упадет катастрофически. Если вовремя не подтянуть метод сравнения чисел до нужного уровня.💯

СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА ГОДОВЫЕ КУРСЫ

Ловите возможность и успевайте начать подготовку к ЕГЭ под руководством преподавателей школы Математика МГУ 🚀

Ребята, наступил экватор на пути подготовки к ЕГЭ-2025. Кто активно включился и занимается с сентября - вы молодцы!
Кто только приступает - сейчас самое время!

⚡️Мы закрываем продажи годовых курсов, в связи с чем запускаем специальное предложение

Переходите на сайт, выбирайте удобный тариф и подключайтесь по выгодным ценам ⬇️

https://3.shkolkovo.online/math-msu

💡Бонусом вы получаете записи всех занятий, начиная с сентября

КАЖДЫЙ ГОД ОДНИ И ТЕ ЖЕ ОШИБКИ

YouTube:
VK:

Каждый год выпускники на экзамене делают одни и те же ошибки, которые приводят к обидной потере баллов.

Это как ошибки в вычислениях, так и по невнимательности.

🔥 В этом видео я перечисляю основные, наиболее часто допускаемые ошибки и даю советы, что надо делать, чтобы не повторять печальный опыт ваших предшественников.

❗️Смотрим ролик внимательно


P.S. Попробуйте найти в этом видео ошибки, которые не исправлены 😉