В новом видео рассмотрим доказательство формулы Муавра, с помощью которой легко вычисляются высокие степени комплексных чисел: https://www.youtube.com/watch?v=blJnr6RbYBU

Искусство заниматься математикой заключается в умении находить особый случай, который содержит зародыш обобщения

— Давид Гильберт

Площадь криволинейной трапеции

Все знают как находить площади простейших геометрических фигур (квадрата, прямоугольника, треугольника, ромба, ...). Если же требуется найти площадь более сложной фигуры, то мы разбиваем ее на множество маленьких частей, площадь которых известно как искать. И чем больше будет таких частей, тем ближе сумма их площадей будет к правильному ответу.

Аналогично и в жизни. Если не получается решить глобальную и тяжелую задачу, то начните с малого. Разбейте ее на несколько маленьких подзадач, которые вы можете решить постепенно. Рано или поздно результат каждой из них приведет к главной цели!

Сколько еще таких равенств можно составить для трехзначных чисел ❓

Факты о гиперболических функциях

— первое упоминание о гиперболических функциях историки нашли именно в трудах Абрахама де Муавра 👆, формулу которого мы рассмотрели в одном из последних видео

— в мире существуют различные обозначения гиперболических функций: sinhyp, coshyp, sinh, cosh, sh, ch

— гиперболические функции часто применяются при вычислении интегралов, которые содержат радикалы.

Попробуйте решить следующее уравнение относительно t

x = a • sinh t, где a > 0

Решение 👆

🧐Какие замены применять при вычислении интегралов от иррациональных функций ?

Рассмотрим данную задачу на примере двух таких интегралов: https://www.youtube.com/watch?v=veD2nRIk_n4

———
P.S. Спасибо одному из наших подписчиков (Den) 👋 за предложенную тему для нового видео!

@mathgim

Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется.

— Гёте Иоганн Вольфганг

➡️ Дифференцирование оригинала

В новом видео рассмотрим очередное свойство преобразования Лапласа: https://www.youtube.com/watch?v=tL1B77kp89E

Данная теорема позволяет решать системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (мы постепенно приближаемся к решению таких задач).

#ОперационноеИсчисление
#ПреобразованиеЛапласа

@mathgim

Игры с числами

Совершенные числа

Так называются натуральные числа, равные сумме своих делителей (не считая самого числа).

Наименьшим совершенным числом является 6️⃣

6 = 1 + 2 + 3

За ним следуют числа 2️⃣8️⃣ и 4️⃣9️⃣6️⃣:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Эти и другие числа могут быть найдены по формуле 👆, где p — простое число.

🤔До сих пор неизвестно, существуют ли хотя бы одно нечетное совершенное число. По одним из последних сообщений Брайена Такхермана из IBM нечетное совершенное число должно иметь по крайней мере 36 знаков.

Число 💯

100 = 91 + 5823/647
100 = 94 + 1578/263
100 = 96 + 1428/357

Во всех случаях употреблены все натуральные числа от 1 до 9.

P.S. Существуют и другие равенства.

Ровно 357 лет назад в этот день (26 мая) во Франции (г. Витри-ле-Франсуа) родился великий математик — Абрахам де Муавр.

Абрахам был учеником Исаака Ньютона, который часто повторял:

Идите к де Муавру, он разбирается в этом лучше меня

Под его именем было опубликовано (в том числе и посмертно) огромное количество математических трудов, посвященные теории вероятностей и бесконечным рядам.

В его честь был назван астероид (28729) Moivre, открытый первооткрывателем астероидов (Пауль Комба) 11 апреля 2000 года.

➡️ Метод группировки

В новом видео рассмотрим один из методов решения полиномиальных уравнений, который не является универсальным, но его необходимо всегда иметь на вооружении!

Для тех кто уже знаком с данным методом, предлагаем перед просмотром попробовать решить уравнение самостоятельно.

Не забудьте поделится видео с друзьями а также предложить в комментариях свои группировки из 6-ти слагаемых (их несколько).

@mathgim

Простые числа

Натуральное число p является простым, если оно не равно 1 и делится без остатка только на 1 и на само p.

Некоторые свойства простых чисел:

• если p — простое число, a — натуральное число, то a^p-a делится на p без остатка.

• Натуральное p > 1, является простым, тогда и только тогда когда (p-1)!+1 делится без остатка на p.

• Если p > 3 — простое число, то p^2-1 кратно 24.

• Если n > 1 — натуральное, то существует простое число p такое, что n < p < 2n.

• Любое простое число p > 3 можно представить в виде 6k+1 или 6k-1, где k — натуральное.

Какое из свойств проще всего доказать ?)

@mathgim

Умножение на 11

Скорее всего многие слышали о правиле быстрого умножения двузначного числа на 11 — достаточно между цифрами этого числа записать их сумму. Например:

23 x 11 = 253
34 x 11 = 374

Но откуда берется это свойство и как его доказать ? (см. 👆)

@mathgim

➡️ Метод рационализации

По просьбе нашего подписчика @lvan_sed рассмотрим применение метода рационализации для решения неравенств.

В новом видео вы узнаете:

✅ Что из себя представляет метод рационализации ?
✅ Причем тут метод интервалов ?
✅ В чем разница между системой и совокупностью ?
✅ Типичные ошибки при решении.
✅ Равносильные преобразования и неравенства — это ?

@mathgim

Какие еще группировки из 6-ти слагаемых можно было бы тут сделать ?

36x^3-61x+30 = 0
36x^3-30x^2+30x^2-25x-36x+30 = 0
6x^2(6x-5)+5x(6x-5)-6(6x-5) = 0
(6x-5)(6x^2+5x-6) = 0

36x^3-61x+30 = 0
36x^3-24x^2+24x^2-16x-45x+30=0
12x^2(3x-2)+8x(3x-2)-15(3x-2)=0
(3x-2)(12x^2+8x-15)=0

36x^3-61x+30 = 0
36x^3+54x^2-54x^2-81x+20x+30=0
18x^2(2x+3)-27x(2x+3)+10(2x+3)=0
(2x+3)(18x^2-27x+10)=0

@mathgim