Функция Вейерштрасса

До Вейерштрасса математики считали, что любая непрерывная функция должна быть дифференцируемой почти везде, кроме отдельных точек. Но в 1872 году Карл Вейерштрасс представил свой контрпример👆, который показал, что непрерывность ≠ гладкость.

Функция f(x) непрерывна в каждой точке своей области определения, но при этом нигде не дифференцируема, то есть у нее нет касательной ни в одной точке! Кажется, что она должна быть плавной, ведь она непрерывна. Но при любом увеличении масштаба вы увидите всё новые и новые зубцы, аналогично фракталу, который не становится гладким, сколько бы вы ни приближали. Каждая точка графика оказывается угловой и кривая становится настолько изрезана, что не имеет ни одного гладкого участка.

Этот пример разрушил интуитивное убеждение и привычное понимание, связывающее непрерывность с гладкостью, и заставил математиков пересмотреть сами основы анализа, сделав его определения более точными и строгими.

#непрерывность #матанализ

@mathgim

Найдите углы прямоугольного треугольника с катетами a, b и площадью S, если известно, что 👆

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Докажите, что если a+b=1, то 👆

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Пусть кубическое уравнение f(x) = ax³+bx²+cx+d = 0 имеет один действительный корень x₁ и два комплексно-сопряженных α ± iβ, тогда касательная к графику f(x) в точке α имеет уравнение y(x) = f'(α)(x-x₁).

❗️Это означает, что касательная к графику f(x) в точке, равной действительной части комплексно-сопряженных корней, всегда проходит через действительный корень в точке (x₁,0)

@mathgim

Число 222

Представим его с помощью цифр от 1 до 9 включительно, используя только знаки + и - (без скобок)

123+4+5-6+7+89 = 222
1+234+5+6-7-8-9 = 222
1+234+56-78+9 = 222

Все числа расположены последовательно

@mathgim

📊 Первичная обработка статистических данных

Давайте рассмотрим фундамент, на котором строятся все выводы и модели. Для начала, нужно понять с чем будем работать:

Генеральная совокупность (или выборочное пространство) — это ВСЕ возможные значения, которые может принимать интересующая нас случайная величина X. Например, рост всех взрослых жителей страны.

Выборка — это конкретный набор объектов (например, 1000 человек), извлеченный из этой совокупности для изучения. Мы смотрим на выборку, чтобы делать выводы о целом.

Первое, что делают с сырой выборкой — упорядочивают значения по возрастанию. Полученная последовательность называется вариационным рядом. Уже на этом этапе видны минимальное и максимальное значения, а также повторения.

Любая функция от выборки является статистикой. Проще говоря, это число, вычисленное по данным, чтобы их охарактеризовать. Некоторые из ключевых статистик вы уже знаете и используете, например: выборочное среднее (центр тяжести данных) или выборочная дисперсия (мера разброса данных вокруг среднего).

С помощью размаха выборки (разность между максимальным и минимальным элементами вариационного ряда) можно грубо оценить разброс. Размах очень прост в вычислении, но крайне чувствителен к выбросам. Один аномальный элемент в выборке может полностью исказить эту характеристику.

Эти действия, дают первое, тактильное понимание данных, прежде чем вы перейдете к построению гистограмм, проверке гипотез или сложному моделированию. На этом этапе вы чувствуете масштаб данных, их центр и изменчивость. Вы сразу видите потенциальные аномалии (например, огромный размах при скромном среднем) и получаете так называемый числовой портрет выборки.

#статистика #математика #анализданных

@mathgim

Решите систему на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Решите дифференциальное уравнение

#задачи #решения

@mathgim

Решение

✈️ Один маршрут, разное время. Почему так?

Один и тот же маршрут в прямом и обратном направлении может занимать разное время. И причина этого — ветер.

Рассмотрим простой пример. Пусть:
- маршрут имеет расстояние 3000 км;
- самолет летит со своей обычной скоростью (например, 800 км/ч);
- скорость ветра равна 100 км/ч.

Тогда:
1. При попутном ветре скорость самолета относительно земли складывается как 800 + 100 = 900 км/ч. Время в пути составит 3000/900 = 3 часа 20 минут.
2. При встречном ветре скорость самолета относительно земли составит 800-100 = 700 км/ч. Время в пути равняется 3000/700 = 4 часа 16 минут.

Разница на таком маршруте — почти целый час! Вот почему время вылета и прибытия в расписании для противоположных направлений это не всегда просто зеркальные цифры.

Бывало ли у вас ощущение, что обратная дорога домой всегда кажется быстрее ?)

@mathgim

Вычислите точное значение разности

#задачи #решения

@mathgim

Числа, которые меняют взгляд на жизнь

Давайте выясним, из чего сложена жизнь среднестатистического человека в часах и днях, и где в этом уравнении спрятана настоящая свобода.

1. Средняя продолжительность жизни в России на 2025 год составляет ≈ 73 года. Будем рассматривать осознанную жизнь с 7 лет (школа) до 73. Итого : 66 активных лет.

2. Время человеческого сна в среднем составляет 8 часов в сутки. Тогда 66 лет х 365 дней х 8 часов = 192 720 часов или 192 720 часов / 24 часа / 365 дней = 22 года. Итого : 22 года чистого сна. Это больше, чем многие учатся или строят карьеру.

3. Учебу/Работу (с 7 до 65 лет) оценим примерно в 9 часов в день, 5 дней в неделю. Тогда за 58 лет имеем 5 дней х 9 часов х 4 недели х 12 месяцев х 58 лет = 125 280 часов или 125 280 часов / 24 / 365 ≈ 14,3 лет. Итого : 14,3 лет непрерывного труда и учебы.

4. Бытовые необходимости (еда, готовка, дорога, покупки, уборка) скромно оценим в 4 часа в день. Тогда 66 лет х 365 дней х 4 часа = 96 360 часов или 96 360 часов / 24 / 365 = 11 лет. Итого : 11 лет на ежедневные рутины.

5. На пенсии (с 66 до 73 лет) сон и бытовые потребности уже учтены в пунктах 2 и 4. Поэтому будем считать, что на данном этапе у нас есть полноценные 7 лет свободного времени.

Сводим баланс:
+66 активных лет
-22 года чистого сна
-14,3 лет учебы/работы
-11 лет бытовых поребностей
= 18,7 лет

Конечно же все цифры условные и на самом деле все очень индивидуально. В данном случае нам нужно не точное значение, а понимание идеи и некоторая оценка. К тому же мы многое еще не учитываем:
— переработки на работе как в будни так и по выходным;
— каникулы, праздники;
— дополнительные курсы по выходным или тренировки в секциях;
— женщины раньше выходят на пенсию;
— болезни, когда проводим дни в постели с гриппом, на больничном, в очередях в поликлинике. Для некоторых это могут быть годы, а не дни;
— вынужденное бездействие, например: период поиска работы, кризисы, депрессия, выгорание. Это время формально является свободным, но не является качественной свободой. Оно тратится на выживание и восстановление ресурсов;
— неконтролируемые обязательства, уход за больными родственниками, решение внезапных семейных или юридических проблем;
— низкое качество свободного времени, когда после 10-часового рабочего дня и 2-х часов в пробках у вас остаются силы только на просмотр кино или Shorts (эта не та свобода, о которой мечтается);
— административная и цифровая рутина: оформление документов, споры с ЖКХ, банками, налоговая отчетность, борьба с техникой, сортировка спама.

Учитывая все это, можно смело вычеркивать еще несколько лет. В сухом остатке остается примерно 15-18 лет свободного времени. Эти значения показывают жесткую правду: наше свободное время по объему чуть меньше времени, проведенного во сне. Это и есть тот самый ресурс на хобби, друзей, семью, путешествия, обучения для себя, размышления, любовь и просто ничегонеделание. НО здесь главное не паниковать от увиденных цифр. Цель поста как раз в обратном — увидеть систему, принять ее ограничения и начать играть по-умному. Сон это не потеря времени, а инвестиция в качество остальных часов. Улучшайте его! Учеба также не является потерей свободных лет. Это инвестиция с отложенной доходностью в качество последующих этапов вашей жизни. Хорошая учеба может сделать работу интереснее, а быт эффективнее. А хорошая работа дает не только финансы для качественного отдыха, но и чувство компетентности и принадлежности к чему-то важному. Таким образом, нельзя увеличивать свободное время, просто отняв его от сна, учебы или работы. Его можно только вырастить, последовательно улучшая и оптимизируя все остальные элементы.

Когда студент говорит "ночь впереди", а работник засиживается до рассвета, они не просто нарушают режим. Они на коротком отрезке времени пытаются обмануть систему, чтобы освободить себе целый день. Это тактика микрооптимизации в рамках жёстких правил игры. Понимание общей картины, помогает перейти от таких тактик к настоящей стратегии и оптимизаци.

#оптимизация #статистика

@mathgim

Решение

Один из быстрых способов сравнивать несколько функций на одном графике.

Для этого не нужно открывать сложные программы, скачивать отдельные приложения или строить что-то вручную. В Wolfam Alpha можете просто вбить запрос по следующему шаблону:

plot [функция 1], [функция 2], ..., [функция N] from [начало] to [конец]

Это часто бывает полезно для быстрого понимания задачи или проверки гипотез.

#визуализация #wolframalpha #графики

@mathgim

Почему во многих языках программирования нет встроенной функции среднего геометрического ?

Формула проста, но перемножить например 1000 значений и извлечь корень 1000-й степени в лоб не получится. Уже после 3-4 чисел при перемножении мы выходим за рамки типа данных. Поэтому на помощь приходит логарифмирование, которое превращает произведение в сумму, а корень n-й степени в обычное деление на n. После этого достаточно взять экспоненту. В этом случае не будет никаких переполнений или потери точности. Алгоритм будет работать для тысяч элементов с любым диапазоном значений.

Собственно, именно поэтому отдельная функция и не нужна. Среднее геометрическое является композицией трёх базовых функций: ln, avg и exp. А они уже есть в любом уважающем себя языке.

#математика #программирование

@mathgim