⬆️ Склон просветления
С упорной учёбой реальная компетенция растёт, а вместе с ней медленно и осторожно возвращается уверенность. Но теперь она подкреплена реальными знаниями и их границами, а не заучиванием формул.

➡️ Плато стабильности
Здесь человек становится экспертом. Он знает очень много, но также отлично понимает, чего он не знает. Его уверенность адекватна и стабильна, даже в подобных ситуациях. Любая ошибка воспринимается как часть процесса, а не катастрофа.

Таким образом, чтобы осознать свою ошибку в решении сложной задачи, нужно уже иметь достаточно знаний, чтобы её заметить. Без этих знаний ошибка невидима. Математика бесконечна, поэтому чем больше вы знаете, тем больше открывается горизонтов неизученного. Это заставляет даже великих учёных сомневаться. Здесь уместны слова Сократа, который говорил: «Я знаю, что ничего не знаю». И это не признак слабости, а наивысшая форма компетентности и осознание границ своего понимания.

Пишите на каком этапе графика узнали себя? Были ли у вас пики глупости или затяжные долины?)

#Математика #Саморазвитие

@mathgim

🎓 С Днём студента!

Поздравляем всех студентов — настоящих и бывших, учащихся и преподающих.

Пусть студенческие года останутся в памяти не просто как череда экзаменов, а как время настоящих друзей, смелых идей и веры в собственные возможности. Берегите и цените этот особенный период в жизни, так как он уникален и неповторим.

#ДеньСтудента #ТатьянинДень

@mathgim

Функция Вейерштрасса

До Вейерштрасса математики считали, что любая непрерывная функция должна быть дифференцируемой почти везде, кроме отдельных точек. Но в 1872 году Карл Вейерштрасс представил свой контрпример👆, который показал, что непрерывность ≠ гладкость.

Функция f(x) непрерывна в каждой точке своей области определения, но при этом нигде не дифференцируема, то есть у нее нет касательной ни в одной точке! Кажется, что она должна быть плавной, ведь она непрерывна. Но при любом увеличении масштаба вы увидите всё новые и новые зубцы, аналогично фракталу, который не становится гладким, сколько бы вы ни приближали. Каждая точка графика оказывается угловой и кривая становится настолько изрезана, что не имеет ни одного гладкого участка.

Этот пример разрушил интуитивное убеждение и привычное понимание, связывающее непрерывность с гладкостью, и заставил математиков пересмотреть сами основы анализа, сделав его определения более точными и строгими.

#непрерывность #матанализ

@mathgim

Найдите углы прямоугольного треугольника с катетами a, b и площадью S, если известно, что 👆

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Докажите, что если a+b=1, то 👆

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Пусть кубическое уравнение f(x) = ax³+bx²+cx+d = 0 имеет один действительный корень x₁ и два комплексно-сопряженных α ± iβ, тогда касательная к графику f(x) в точке α имеет уравнение y(x) = f'(α)(x-x₁).

❗️Это означает, что касательная к графику f(x) в точке, равной действительной части комплексно-сопряженных корней, всегда проходит через действительный корень в точке (x₁,0)

@mathgim

Число 222

Представим его с помощью цифр от 1 до 9 включительно, используя только знаки + и - (без скобок)

123+4+5-6+7+89 = 222
1+234+5+6-7-8-9 = 222
1+234+56-78+9 = 222

Все числа расположены последовательно

@mathgim

📊 Первичная обработка статистических данных

Давайте рассмотрим фундамент, на котором строятся все выводы и модели. Для начала, нужно понять с чем будем работать:

Генеральная совокупность (или выборочное пространство) — это ВСЕ возможные значения, которые может принимать интересующая нас случайная величина X. Например, рост всех взрослых жителей страны.

Выборка — это конкретный набор объектов (например, 1000 человек), извлеченный из этой совокупности для изучения. Мы смотрим на выборку, чтобы делать выводы о целом.

Первое, что делают с сырой выборкой — упорядочивают значения по возрастанию. Полученная последовательность называется вариационным рядом. Уже на этом этапе видны минимальное и максимальное значения, а также повторения.

Любая функция от выборки является статистикой. Проще говоря, это число, вычисленное по данным, чтобы их охарактеризовать. Некоторые из ключевых статистик вы уже знаете и используете, например: выборочное среднее (центр тяжести данных) или выборочная дисперсия (мера разброса данных вокруг среднего).

С помощью размаха выборки (разность между максимальным и минимальным элементами вариационного ряда) можно грубо оценить разброс. Размах очень прост в вычислении, но крайне чувствителен к выбросам. Один аномальный элемент в выборке может полностью исказить эту характеристику.

Эти действия, дают первое, тактильное понимание данных, прежде чем вы перейдете к построению гистограмм, проверке гипотез или сложному моделированию. На этом этапе вы чувствуете масштаб данных, их центр и изменчивость. Вы сразу видите потенциальные аномалии (например, огромный размах при скромном среднем) и получаете так называемый числовой портрет выборки.

#статистика #математика #анализданных

@mathgim

Решите систему на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Решите дифференциальное уравнение

#задачи #решения

@mathgim

Решение

✈️ Один маршрут, разное время. Почему так?

Один и тот же маршрут в прямом и обратном направлении может занимать разное время. И причина этого — ветер.

Рассмотрим простой пример. Пусть:
- маршрут имеет расстояние 3000 км;
- самолет летит со своей обычной скоростью (например, 800 км/ч);
- скорость ветра равна 100 км/ч.

Тогда:
1. При попутном ветре скорость самолета относительно земли складывается как 800 + 100 = 900 км/ч. Время в пути составит 3000/900 = 3 часа 20 минут.
2. При встречном ветре скорость самолета относительно земли составит 800-100 = 700 км/ч. Время в пути равняется 3000/700 = 4 часа 16 минут.

Разница на таком маршруте — почти целый час! Вот почему время вылета и прибытия в расписании для противоположных направлений это не всегда просто зеркальные цифры.

Бывало ли у вас ощущение, что обратная дорога домой всегда кажется быстрее ?)

@mathgim

Вычислите точное значение разности

#задачи #решения

@mathgim

Числа, которые меняют взгляд на жизнь

Давайте выясним, из чего сложена жизнь среднестатистического человека в часах и днях, и где в этом уравнении спрятана настоящая свобода.

1. Средняя продолжительность жизни в России на 2025 год составляет ≈ 73 года. Будем рассматривать осознанную жизнь с 7 лет (школа) до 73. Итого : 66 активных лет.

2. Время человеческого сна в среднем составляет 8 часов в сутки. Тогда 66 лет х 365 дней х 8 часов = 192 720 часов или 192 720 часов / 24 часа / 365 дней = 22 года. Итого : 22 года чистого сна. Это больше, чем многие учатся или строят карьеру.

3. Учебу/Работу (с 7 до 65 лет) оценим примерно в 9 часов в день, 5 дней в неделю. Тогда за 58 лет имеем 5 дней х 9 часов х 4 недели х 12 месяцев х 58 лет = 125 280 часов или 125 280 часов / 24 / 365 ≈ 14,3 лет. Итого : 14,3 лет непрерывного труда и учебы.

4. Бытовые необходимости (еда, готовка, дорога, покупки, уборка) скромно оценим в 4 часа в день. Тогда 66 лет х 365 дней х 4 часа = 96 360 часов или 96 360 часов / 24 / 365 = 11 лет. Итого : 11 лет на ежедневные рутины.

5. На пенсии (с 66 до 73 лет) сон и бытовые потребности уже учтены в пунктах 2 и 4. Поэтому будем считать, что на данном этапе у нас есть полноценные 7 лет свободного времени.

Сводим баланс:
+66 активных лет
-22 года чистого сна
-14,3 лет учебы/работы
-11 лет бытовых поребностей
= 18,7 лет

Конечно же все цифры условные и на самом деле все очень индивидуально. В данном случае нам нужно не точное значение, а понимание идеи и некоторая оценка. К тому же мы многое еще не учитываем:
— переработки на работе как в будни так и по выходным;
— каникулы, праздники;
— дополнительные курсы по выходным или тренировки в секциях;
— женщины раньше выходят на пенсию;
— болезни, когда проводим дни в постели с гриппом, на больничном, в очередях в поликлинике. Для некоторых это могут быть годы, а не дни;
— вынужденное бездействие, например: период поиска работы, кризисы, депрессия, выгорание. Это время формально является свободным, но не является качественной свободой. Оно тратится на выживание и восстановление ресурсов;
— неконтролируемые обязательства, уход за больными родственниками, решение внезапных семейных или юридических проблем;
— низкое качество свободного времени, когда после 10-часового рабочего дня и 2-х часов в пробках у вас остаются силы только на просмотр кино или Shorts (эта не та свобода, о которой мечтается);
— административная и цифровая рутина: оформление документов, споры с ЖКХ, банками, налоговая отчетность, борьба с техникой, сортировка спама.

Учитывая все это, можно смело вычеркивать еще несколько лет. В сухом остатке остается примерно 15-18 лет свободного времени. Эти значения показывают жесткую правду: наше свободное время по объему чуть меньше времени, проведенного во сне. Это и есть тот самый ресурс на хобби, друзей, семью, путешествия, обучения для себя, размышления, любовь и просто ничегонеделание. НО здесь главное не паниковать от увиденных цифр. Цель поста как раз в обратном — увидеть систему, принять ее ограничения и начать играть по-умному. Сон это не потеря времени, а инвестиция в качество остальных часов. Улучшайте его! Учеба также не является потерей свободных лет. Это инвестиция с отложенной доходностью в качество последующих этапов вашей жизни. Хорошая учеба может сделать работу интереснее, а быт эффективнее. А хорошая работа дает не только финансы для качественного отдыха, но и чувство компетентности и принадлежности к чему-то важному. Таким образом, нельзя увеличивать свободное время, просто отняв его от сна, учебы или работы. Его можно только вырастить, последовательно улучшая и оптимизируя все остальные элементы.

Когда студент говорит "ночь впереди", а работник засиживается до рассвета, они не просто нарушают режим. Они на коротком отрезке времени пытаются обмануть систему, чтобы освободить себе целый день. Это тактика микрооптимизации в рамках жёстких правил игры. Понимание общей картины, помогает перейти от таких тактик к настоящей стратегии и оптимизаци.

#оптимизация #статистика

@mathgim

Решение

Один из быстрых способов сравнивать несколько функций на одном графике.

Для этого не нужно открывать сложные программы, скачивать отдельные приложения или строить что-то вручную. В Wolfam Alpha можете просто вбить запрос по следующему шаблону:

plot [функция 1], [функция 2], ..., [функция N] from [начало] to [конец]

Это часто бывает полезно для быстрого понимания задачи или проверки гипотез.

#визуализация #wolframalpha #графики

@mathgim