Докажите, что площадь равнобедренной трапеции определяется по формуле 👆, где:

m — длина диагонали;
α — угол между диагоналями.

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Число Лишрел или проблема 196

Возьмите любое число, переверните его цифры и сложите с исходным. Повторяйте, пока не получится палиндром (число, читающееся одинаково слева направо и справа налево). Например: 56 → 65, 56+65=121 (палиндром за 1 шаг).

Но что, если палиндром так и не появится? Такие числа называют кандидатами в числа Лишрел. Строго доказанных чисел Лишрел не существует, но многие числа предполагаются таковыми, причём наименьшее из них — число 196 (именно поэтому оно получило наибольшее внимание).

С числом 196 процесс «перевернуть и сложить» проводили миллиарды раз, увеличивая число до более чем миллиарда цифр, но палиндром так и не был найден.

Большинство чисел превращаются в палиндромы всего за несколько шагов. Например, среди чисел меньше 10 000 около 80% находят палиндром за 4 итерации или быстрее, а более 90% — за 7 итераций. Исключение составляют лишь 89 и 98, которым требуется целых 24 операции.

Помимо 196, в список упорных кандидатов в числа Лишрел входят, например, 879, 1997 и 7059. Они, как и 196, прошли через миллионы (а иногда и десятки миллионов) итераций алгоритма, но так и не выдали палиндром.

Название Lychrel (Лишрел) является анаграммой имени Cheryl (Шерил) — подруги исследователя, изучавшего эти числа.

#ТеорияЧисел #Палиндром #Лишрел

@mathgim

Эффект Даннинга — Крюгера

Знакомо ли вам чувство, когда вы только начинаете изучать новую тему и кажется, что ничего сложного в ней нет (всё понятно!). А потом, спустя месяцы, ловите себя на мысли, что вы вообще ничего не знаете. Это не неуверенность, а когнитивное искажение, которое имеет свое гипотетическое объяснение:

Чем меньше человек знает в какой-то области, тем выше он оценивает свою компетентность. И наоборот, эксперты склонны недооценивать свои навыки, потому что они знают, насколько обширна и глубока тема.

📈 Пик глупости
Новичок, только освоивший основы, часто чувствует эйфорию и чрезмерную уверенность. Ему кажется, что он уже всё постиг. Он может спорить с учебником и искренне считать, что открыл ошибку в теореме.

📉 Долина отчаяния
По мере углубления в тему человек сталкивается с огромным пластом неизвестного. Он понимает масштаб своего невежества. Уверенность резко падает. Фраза «Я ничего не понимаю» (или другие) становится типичной на этом этапе.

⬆️ Склон просветления
С упорной учёбой реальная компетенция растёт, а вместе с ней медленно и осторожно возвращается уверенность. Но теперь она подкреплена реальными знаниями и их границами, а не заучиванием формул.

➡️ Плато стабильности
Здесь человек становится экспертом. Он знает очень много, но также отлично понимает, чего он не знает. Его уверенность адекватна и стабильна, даже в подобных ситуациях. Любая ошибка воспринимается как часть процесса, а не катастрофа.

Таким образом, чтобы осознать свою ошибку в решении сложной задачи, нужно уже иметь достаточно знаний, чтобы её заметить. Без этих знаний ошибка невидима. Математика бесконечна, поэтому чем больше вы знаете, тем больше открывается горизонтов неизученного. Это заставляет даже великих учёных сомневаться. Здесь уместны слова Сократа, который говорил: «Я знаю, что ничего не знаю». И это не признак слабости, а наивысшая форма компетентности и осознание границ своего понимания.

Пишите на каком этапе графика узнали себя? Были ли у вас пики глупости или затяжные долины?)

#Математика #Саморазвитие

@mathgim

🎓 С Днём студента!

Поздравляем всех студентов — настоящих и бывших, учащихся и преподающих.

Пусть студенческие года останутся в памяти не просто как череда экзаменов, а как время настоящих друзей, смелых идей и веры в собственные возможности. Берегите и цените этот особенный период в жизни, так как он уникален и неповторим.

#ДеньСтудента #ТатьянинДень

@mathgim

Функция Вейерштрасса

До Вейерштрасса математики считали, что любая непрерывная функция должна быть дифференцируемой почти везде, кроме отдельных точек. Но в 1872 году Карл Вейерштрасс представил свой контрпример👆, который показал, что непрерывность ≠ гладкость.

Функция f(x) непрерывна в каждой точке своей области определения, но при этом нигде не дифференцируема, то есть у нее нет касательной ни в одной точке! Кажется, что она должна быть плавной, ведь она непрерывна. Но при любом увеличении масштаба вы увидите всё новые и новые зубцы, аналогично фракталу, который не становится гладким, сколько бы вы ни приближали. Каждая точка графика оказывается угловой и кривая становится настолько изрезана, что не имеет ни одного гладкого участка.

Этот пример разрушил интуитивное убеждение и привычное понимание, связывающее непрерывность с гладкостью, и заставил математиков пересмотреть сами основы анализа, сделав его определения более точными и строгими.

#непрерывность #матанализ

@mathgim

Найдите углы прямоугольного треугольника с катетами a, b и площадью S, если известно, что 👆

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Докажите, что если a+b=1, то 👆

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Пусть кубическое уравнение f(x) = ax³+bx²+cx+d = 0 имеет один действительный корень x₁ и два комплексно-сопряженных α ± iβ, тогда касательная к графику f(x) в точке α имеет уравнение y(x) = f'(α)(x-x₁).

❗️Это означает, что касательная к графику f(x) в точке, равной действительной части комплексно-сопряженных корней, всегда проходит через действительный корень в точке (x₁,0)

@mathgim

Число 222

Представим его с помощью цифр от 1 до 9 включительно, используя только знаки + и - (без скобок)

123+4+5-6+7+89 = 222
1+234+5+6-7-8-9 = 222
1+234+56-78+9 = 222

Все числа расположены последовательно

@mathgim

📊 Первичная обработка статистических данных

Давайте рассмотрим фундамент, на котором строятся все выводы и модели. Для начала, нужно понять с чем будем работать:

Генеральная совокупность (или выборочное пространство) — это ВСЕ возможные значения, которые может принимать интересующая нас случайная величина X. Например, рост всех взрослых жителей страны.

Выборка — это конкретный набор объектов (например, 1000 человек), извлеченный из этой совокупности для изучения. Мы смотрим на выборку, чтобы делать выводы о целом.

Первое, что делают с сырой выборкой — упорядочивают значения по возрастанию. Полученная последовательность называется вариационным рядом. Уже на этом этапе видны минимальное и максимальное значения, а также повторения.

Любая функция от выборки является статистикой. Проще говоря, это число, вычисленное по данным, чтобы их охарактеризовать. Некоторые из ключевых статистик вы уже знаете и используете, например: выборочное среднее (центр тяжести данных) или выборочная дисперсия (мера разброса данных вокруг среднего).

С помощью размаха выборки (разность между максимальным и минимальным элементами вариационного ряда) можно грубо оценить разброс. Размах очень прост в вычислении, но крайне чувствителен к выбросам. Один аномальный элемент в выборке может полностью исказить эту характеристику.

Эти действия, дают первое, тактильное понимание данных, прежде чем вы перейдете к построению гистограмм, проверке гипотез или сложному моделированию. На этом этапе вы чувствуете масштаб данных, их центр и изменчивость. Вы сразу видите потенциальные аномалии (например, огромный размах при скромном среднем) и получаете так называемый числовой портрет выборки.

#статистика #математика #анализданных

@mathgim

Решите систему на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Решите дифференциальное уравнение

#задачи #решения

@mathgim

Решение