Решение

🦋 Теорема о бабочке

Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.

Теорема имеет соответствующее название из-за формы, которую образуют хорды.

#геометрия #планиметрия

@mathgim

Разложите функцию f(x) с периодом 2π в ряд Фурье

#задачи #решения

@mathgim

🔲 Ковёр Серпинского

1. Берём квадрат.
2. Делим его на 9 одинаковых квадратов.
3. Удаляем центральный квадрат.
4. Повторяем шаги 1–3 для каждого из оставшихся 8 квадратов.
5. Продолжаем до бесконечности.

После каждого шага остается 8/9 от предыдущей площади, а после n-ого шага (8/9)ⁿ. Таким образом при бесконечности площадь будет стремится к нулю.

Периметр же с каждым шагом будет увеличиваться к бесконечности. Если начальный квадрат имеет сторону "a", то периметр растет как 4a(8/3)ⁿ

Можно ли считать ковёр Серпинского плоской фигурой, если его площадь равна нулю? И если его периметр бесконечен — где он тогда помещается?)

Также существует треугольник Серпинского, являющийся первым известным молекулярным фракталом. Удивительно!

#фракталы #серпинский

@mathgim

Решение

Решить уравнение на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Задача Диофанта

Найти такие три числа, сумма которых, а также сумма каждой пары этих чисел была бы квадратом другого числа.

#задачи

@mathgim

🎉✨ С Новым 2026 годом!

Для нас с вами уходящий год был очень плодотворным. Многие из вас принимали активное участие (присылали задачи, решали их, предлагали свои способы решения, оспаривали гипотезы и т.д.), ну а я со своей стороны старался каждый день публиковать для вас самые интересные материалы. Надеюсь, вам они нравятся!

Итоги года

Хотелось бы от всей души поблагодарить тех, кто делал наш канал живым и интересным

🥇 Золото за самые элегантные решения: @ShturmanArseniy, @infdeathstroke, @Dfthih
Их доказательства были не только верными, но и красивыми!

🥈 Серебро за неукротимую активность: @Danildddddddd
Большое число решенных задач и комментариев!

🥉 Бронза за поддержку, командный дух и взаимопомощь: @Danildddddddd
Всегда помогал другим разобраться в сложных моментах.

🏅 Особая награда "Главный генератор идей": @Dfthih
Прислал больше всех интересных задач и гипотез для обсуждения!

А также огромное спасибо всем, кто был с нами в этом году! Желаю, чтобы ваши гипотезы находили изящные доказательства, а поиск истины никогда не прекращался и приносил вам такое же удовольствие, как и её нахождение!

Число 2026
— всего 4 делителя:
1, 2, 1013 и 2026
— является суммой квадратов:
2026 = 1² + 45²
— римская запись:
MMXXVI

Отдыхайте, набирайтесь сил
и до встречи в новом году! 🥳✨

@mathgim

Решить уравнение на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Вавилонские числа

Вавилонская система счисления является одной из самых древних в истории человечества. Все многообразие чисел строилось всего на двух клинописных знаках: вертикальный клин = 1 и угловой клин = 10.

Как и у нас, значение цифры зависело от её положения (разряда). Главная сложность заключалась в отсутствии нуля. Пустой разряд просто оставляли как пробел, что могло приводить к путанице. Правда позже все-таки появился специальный разделительный символ, который устранил эту уязвимость.

Сама система была шестидесятеричная (основание 60), что было удобно, так как 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Отголоски этой системы живут в наших 60 минутах в часе и 360 градусах в круге.

Все это помогло вавилонянам достичь невероятных высот в астрономии и геометрии. Их вычислительные методы были настолько продвинутыми, что позволили рассчитать движение планет с поразительной точностью.

@mathgim

Докажите, что площадь равнобедренной трапеции определяется по формуле 👆, где:

m — длина диагонали;
α — угол между диагоналями.

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Число Лишрел или проблема 196

Возьмите любое число, переверните его цифры и сложите с исходным. Повторяйте, пока не получится палиндром (число, читающееся одинаково слева направо и справа налево). Например: 56 → 65, 56+65=121 (палиндром за 1 шаг).

Но что, если палиндром так и не появится? Такие числа называют кандидатами в числа Лишрел. Строго доказанных чисел Лишрел не существует, но многие числа предполагаются таковыми, причём наименьшее из них — число 196 (именно поэтому оно получило наибольшее внимание).

С числом 196 процесс «перевернуть и сложить» проводили миллиарды раз, увеличивая число до более чем миллиарда цифр, но палиндром так и не был найден.

Большинство чисел превращаются в палиндромы всего за несколько шагов. Например, среди чисел меньше 10 000 около 80% находят палиндром за 4 итерации или быстрее, а более 90% — за 7 итераций. Исключение составляют лишь 89 и 98, которым требуется целых 24 операции.

Помимо 196, в список упорных кандидатов в числа Лишрел входят, например, 879, 1997 и 7059. Они, как и 196, прошли через миллионы (а иногда и десятки миллионов) итераций алгоритма, но так и не выдали палиндром.

Название Lychrel (Лишрел) является анаграммой имени Cheryl (Шерил) — подруги исследователя, изучавшего эти числа.

#ТеорияЧисел #Палиндром #Лишрел

@mathgim

Эффект Даннинга — Крюгера

Знакомо ли вам чувство, когда вы только начинаете изучать новую тему и кажется, что ничего сложного в ней нет (всё понятно!). А потом, спустя месяцы, ловите себя на мысли, что вы вообще ничего не знаете. Это не неуверенность, а когнитивное искажение, которое имеет свое гипотетическое объяснение:

Чем меньше человек знает в какой-то области, тем выше он оценивает свою компетентность. И наоборот, эксперты склонны недооценивать свои навыки, потому что они знают, насколько обширна и глубока тема.

📈 Пик глупости
Новичок, только освоивший основы, часто чувствует эйфорию и чрезмерную уверенность. Ему кажется, что он уже всё постиг. Он может спорить с учебником и искренне считать, что открыл ошибку в теореме.

📉 Долина отчаяния
По мере углубления в тему человек сталкивается с огромным пластом неизвестного. Он понимает масштаб своего невежества. Уверенность резко падает. Фраза «Я ничего не понимаю» (или другие) становится типичной на этом этапе.

⬆️ Склон просветления
С упорной учёбой реальная компетенция растёт, а вместе с ней медленно и осторожно возвращается уверенность. Но теперь она подкреплена реальными знаниями и их границами, а не заучиванием формул.

➡️ Плато стабильности
Здесь человек становится экспертом. Он знает очень много, но также отлично понимает, чего он не знает. Его уверенность адекватна и стабильна, даже в подобных ситуациях. Любая ошибка воспринимается как часть процесса, а не катастрофа.

Таким образом, чтобы осознать свою ошибку в решении сложной задачи, нужно уже иметь достаточно знаний, чтобы её заметить. Без этих знаний ошибка невидима. Математика бесконечна, поэтому чем больше вы знаете, тем больше открывается горизонтов неизученного. Это заставляет даже великих учёных сомневаться. Здесь уместны слова Сократа, который говорил: «Я знаю, что ничего не знаю». И это не признак слабости, а наивысшая форма компетентности и осознание границ своего понимания.

Пишите на каком этапе графика узнали себя? Были ли у вас пики глупости или затяжные долины?)

#Математика #Саморазвитие

@mathgim

🎓 С Днём студента!

Поздравляем всех студентов — настоящих и бывших, учащихся и преподающих.

Пусть студенческие года останутся в памяти не просто как череда экзаменов, а как время настоящих друзей, смелых идей и веры в собственные возможности. Берегите и цените этот особенный период в жизни, так как он уникален и неповторим.

#ДеньСтудента #ТатьянинДень

@mathgim