📌 Механические приложения криволинейного интеграла 1-ого рода

(1) - масса материальной кривой 𝐿 с плотностью 𝜇.
(2) - статические моменты относительно осей 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 в двумерном случае.
(3) - статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей.
(4) - координаты центра масс в двумерном случае.
(5) - координаты центра масс в трехмерном случае.
(6) - моменты инерций относительно координатных осей в двумерном случае.
(7) - моменты инерций относительно координатных осей в трехмерном случае.

#кринты #интегралы #приложения

@mathgim

Решите систему уравнений в положительных числах

#задачи #решения

@mathgim

💰 Санкт-петербургский парадокс

Давайте представим, что вам предлагают сыграть в следующую игру:

1. Бросаете монетку.
2. Если выпадает орёл, вы получаете 1 рубль и игра заканчивается.
3. Если выпадает решка, бросаете ещё раз.
4. Теперь при орле вы получаете 2 рубля, при решке игра снова продолжается.
5. На каждом шаге выигрыш удваивается: 4, 8, 16, … рублей.
6. Игра продолжается до первого орла.

Вопрос: Сколько вы готовы заплатить за право сыграть в такую игру?

Если посчитать математическое ожидание (то есть средний выигрыш за много игр), то получим, что оно равно бесконечности:

M = (1/2)·1+(1/4)·2+(1/8)·4+... = 1/2+1/2+1/2+... = ∞

Получается, что теоретически игра бесконечно выгодна. Но вы вряд ли готовы будете отдать за неё все свои деньги, так как кажется, что чаще всего орёл выпадает быстро и выигрыш будет небольшой. Это и есть Санкт-Петербургский парадокс, сформулированный ещё Даниилом Бернулли в 18 веке.

Бернулли предположил, что люди оценивают выигрыш не по номиналу, а по полезности денег. Первая тысяча рублей для человека ценнее, чем сотая. Поэтому реальная ценность игры конечна.

#ТеорияВероятностей #Парадокс

@mathgim

Решение

Вычислите криволинейный интеграл первого рода, где L - отрезок прямой, соединяющий точки (0, 0) и (π / 2, π / 2).

#задачи #решения

@mathgim

Трюк Фейнмана

Ричард Фейнман любил использовать один мощный прием — дифференцирование под знаком интеграла:

d/dα ∫ f(x, α) dx = ∫ ∂f/∂α dx

Вроде бы ничего необычного, просто смена порядка операций. Но сила в том, что часто интеграл по "x" берется легко при конкретном α, а производная по α потом упрощает задачу.

Для примера, рассмотрим интеграл I(α), который нетрудно взять, так как он является гауссовым. Продифференцируем все части равенства (1) по α. Из (2) легко находим чему равен интеграл (3), даже не пытаясь брать сложный интеграл напрямую (интегрирование по частям)!

Этот пример показывает, как умная перестановка операций может заменить огромные вычисления.

#интегралы #метод #фейнман

@mathgim

Решение

Вычислите массу кривой 𝐿 с заданной плотностью 𝛾(𝑥, 𝑦)

#задачи #решения

@mathgim

Решение

🦋 Теорема о бабочке

Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.

Теорема имеет соответствующее название из-за формы, которую образуют хорды.

#геометрия #планиметрия

@mathgim

Разложите функцию f(x) с периодом 2π в ряд Фурье

#задачи #решения

@mathgim

🔲 Ковёр Серпинского

1. Берём квадрат.
2. Делим его на 9 одинаковых квадратов.
3. Удаляем центральный квадрат.
4. Повторяем шаги 1–3 для каждого из оставшихся 8 квадратов.
5. Продолжаем до бесконечности.

После каждого шага остается 8/9 от предыдущей площади, а после n-ого шага (8/9)ⁿ. Таким образом при бесконечности площадь будет стремится к нулю.

Периметр же с каждым шагом будет увеличиваться к бесконечности. Если начальный квадрат имеет сторону "a", то периметр растет как 4a(8/3)ⁿ

Можно ли считать ковёр Серпинского плоской фигурой, если его площадь равна нулю? И если его периметр бесконечен — где он тогда помещается?)

Также существует треугольник Серпинского, являющийся первым известным молекулярным фракталом. Удивительно!

#фракталы #серпинский

@mathgim

Решение

Решить уравнение на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Задача Диофанта

Найти такие три числа, сумма которых, а также сумма каждой пары этих чисел была бы квадратом другого числа.

#задачи

@mathgim

🎉✨ С Новым 2026 годом!

Для нас с вами уходящий год был очень плодотворным. Многие из вас принимали активное участие (присылали задачи, решали их, предлагали свои способы решения, оспаривали гипотезы и т.д.), ну а я со своей стороны старался каждый день публиковать для вас самые интересные материалы. Надеюсь, вам они нравятся!

Итоги года

Хотелось бы от всей души поблагодарить тех, кто делал наш канал живым и интересным

🥇 Золото за самые элегантные решения: @ShturmanArseniy, @infdeathstroke, @Dfthih
Их доказательства были не только верными, но и красивыми!

🥈 Серебро за неукротимую активность: @Danildddddddd
Большое число решенных задач и комментариев!

🥉 Бронза за поддержку, командный дух и взаимопомощь: @Danildddddddd
Всегда помогал другим разобраться в сложных моментах.

🏅 Особая награда "Главный генератор идей": @Dfthih
Прислал больше всех интересных задач и гипотез для обсуждения!

А также огромное спасибо всем, кто был с нами в этом году! Желаю, чтобы ваши гипотезы находили изящные доказательства, а поиск истины никогда не прекращался и приносил вам такое же удовольствие, как и её нахождение!

Число 2026
— всего 4 делителя:
1, 2, 1013 и 2026
— является суммой квадратов:
2026 = 1² + 45²
— римская запись:
MMXXVI

Отдыхайте, набирайтесь сил
и до встречи в новом году! 🥳✨

@mathgim

Решить уравнение на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim