Формула шнурования Гаусса

Если вам известны координаты (x, y) всех вершин произвольного многоугольника, то его площадь можно найти по следующему алгоритму:

1. Умножаем "x" каждой вершины на "y" следующей вершины в порядке обхода (по или против часовой стрелки) и всё складываем.
2. Умножаем "y" каждой вершины на "x" следующей вершины и всё складываем.
3. Вычитаем вторую сумму из первой, берем модуль и делим на 2.

S = (1/2) · |Σ(xᵢ · yᵢ₊₁) - Σ(yᵢ · xᵢ₊₁)|

где (xᵢ, yᵢ) — координаты i-ой вершины, а суммирование ведётся по всем вершинам, при этом последняя вершина замыкается на первую.

📐 Пример: Возьмём треугольник с вершинами A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3)

Σ(xᵢ · yᵢ₊₁) = (0 · 0) + (4 · 3) + (0 · 0) = 12
Σ(yᵢ · xᵢ₊₁) = (0 · 4) + (0 · 0) + (3 · 0) = 0
S = (1/2) · |12 - 0| = 6

@cos_of_x, спасибо за тему для поста!

#геометрия #алгоритмы

@mathgim

Иллюзия Понцо

Какой из оранжевых отрезков длиннее ? Кажется, что верхний, но на самом деле отрезки абсолютно одинаковой длины.

Если бы мы измеряли мир только математически (линейкой), иллюзий не существовало бы. Но наш мозг не калькулятор, поэтому он интерпретирует 3D-мир по 2D-картинке. Сходящиеся линии он считывает как линейную перспективу (уходящую вдаль железную дорогу), то есть:

Если два объекта одинаковы, но один находится дальше по перспективе, значит, в реальности он должен быть БОЛЬШЕ. Иначе он выглядел бы неестественно маленьким для своего места.

Мозг автоматически применяет эту поправку на расстояние, искажая реальный размер.

Очень часто эту иллюзию используют художники и архитекторы для создания глубины. Ну а мы в очередной раз убеждаемся, что иногда доверять нельзя даже самому себе. Нужно отключать впечатления и эмоции и включать точный расчёт!

#иллюзии #понцо

@mathgim

Тождество Брахмагупты

Если два числа представимы в виде x² + ny², то и их произведение тоже представимо в той же форме!

#ТеорияЧисел #Алгебра

@mathgim

Имеет ли уравнение x² + y⁷ = z² решения в натуральных числах ?

#задачи #решения

@mathgim

Решение

🙅‍♂️ Ни одно научное открытие не было названо в честь его первооткрывателя

Это закон Стиглера (сформулированный, конечно же не самим Стиглером, а социологом Робертом Мертоном), который с помощью эмпирических наблюдений находит подтверждения и в математике. Например:

1. Числа Фибоначчи были известны ещё в Древней Индии.
2. Треугольник Паскаля был известен задолго до времён Паскаля.
3. Теорема Пифагора зафиксирована в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора.
4. Формула Кардано была открыта Николло Тартальей.

Почему так получается ? Дело в том, что идея должна созреть, а слава часто достаётся не первому, а тому, кто осмыслил, систематизировал или популяризировал идею.

Что думаете на этот счет ? Напишите самые несправедливые (на ваш взгляд) "воровства" славы в истории математики.

#законстиглера #наука #открытия

@mathgim

👩‍💻 Первый программист в истории

Cамым первым программистом в истории человечества была женщина — Ада Лавлейс, причем по образованию она была математиком!

Лавлейс родилась в Англии в 1815 году и с самого раннего детства её увлекали не только гуманитарные науки, но и математика (редкое увлечение для женщины той эпохи). Позже её наставником стал известный математик Огастес де Морган, который сразу разглядел в ней необыкновенный аналитический ум.

В 1833 году Ада познакомилась с Чарльзом Бэббиджем, создателем «Аналитической машины». В то время как многие видели в ней лишь вычислительное устройство, Ада поняла её истинный потенциал: машина могла работать не только с числами, но и с символами, выполняя любые алгоритмы.

В 1843 году Ада описала алгоритм вычисления чисел Бернулли (по сути, первую в мире компьютерную программу). Она также ввела понятия «рабочая ячейка», «цикл» и «рекурсия», заложив основы будущего программирования.

Ада предсказала, что однажды машины смогут создавать музыку, графику и даже мыслить (пророчество об ИИ) и это все задолго до появления первых компьютеров. Она писала:

Аналитическая машина не претендует на то, чтобы создавать что-то действительно новое. Но она может сделать всё, что мы умеем ей предписать.

Её идеи опередили время на столетия, и сегодня её именем назван язык программирования Ada, используемый в военных и аэрокосмических системах.

#ИсторияНауки #Программирование #АдаЛавлейс

@mathgim

Решите уравнение

#задачи #решения

@mathgim

Решение

📌 Механические приложения криволинейного интеграла 1-ого рода

(1) - масса материальной кривой 𝐿 с плотностью 𝜇.
(2) - статические моменты относительно осей 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 в двумерном случае.
(3) - статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей.
(4) - координаты центра масс в двумерном случае.
(5) - координаты центра масс в трехмерном случае.
(6) - моменты инерций относительно координатных осей в двумерном случае.
(7) - моменты инерций относительно координатных осей в трехмерном случае.

#кринты #интегралы #приложения

@mathgim

Решите систему уравнений в положительных числах

#задачи #решения

@mathgim

💰 Санкт-петербургский парадокс

Давайте представим, что вам предлагают сыграть в следующую игру:

1. Бросаете монетку.
2. Если выпадает орёл, вы получаете 1 рубль и игра заканчивается.
3. Если выпадает решка, бросаете ещё раз.
4. Теперь при орле вы получаете 2 рубля, при решке игра снова продолжается.
5. На каждом шаге выигрыш удваивается: 4, 8, 16, … рублей.
6. Игра продолжается до первого орла.

Вопрос: Сколько вы готовы заплатить за право сыграть в такую игру?

Если посчитать математическое ожидание (то есть средний выигрыш за много игр), то получим, что оно равно бесконечности:

M = (1/2)·1+(1/4)·2+(1/8)·4+... = 1/2+1/2+1/2+... = ∞

Получается, что теоретически игра бесконечно выгодна. Но вы вряд ли готовы будете отдать за неё все свои деньги, так как кажется, что чаще всего орёл выпадает быстро и выигрыш будет небольшой. Это и есть Санкт-Петербургский парадокс, сформулированный ещё Даниилом Бернулли в 18 веке.

Бернулли предположил, что люди оценивают выигрыш не по номиналу, а по полезности денег. Первая тысяча рублей для человека ценнее, чем сотая. Поэтому реальная ценность игры конечна.

#ТеорияВероятностей #Парадокс

@mathgim

Решение

Вычислите криволинейный интеграл первого рода, где L - отрезок прямой, соединяющий точки (0, 0) и (π / 2, π / 2).

#задачи #решения

@mathgim

Трюк Фейнмана

Ричард Фейнман любил использовать один мощный прием — дифференцирование под знаком интеграла:

d/dα ∫ f(x, α) dx = ∫ ∂f/∂α dx

Вроде бы ничего необычного, просто смена порядка операций. Но сила в том, что часто интеграл по "x" берется легко при конкретном α, а производная по α потом упрощает задачу.

Для примера, рассмотрим интеграл I(α), который нетрудно взять, так как он является гауссовым. Продифференцируем все части равенства (1) по α. Из (2) легко находим чему равен интеграл (3), даже не пытаясь брать сложный интеграл напрямую (интегрирование по частям)!

Этот пример показывает, как умная перестановка операций может заменить огромные вычисления.

#интегралы #метод #фейнман

@mathgim

Решение

Вычислите массу кривой 𝐿 с заданной плотностью 𝛾(𝑥, 𝑦)

#задачи #решения

@mathgim