Доказательство

Функция f(x) непрерывна на [a, b], а значит она принимает на этом отрезке свое наименьшее m и наибольшее M значения. Рассмотрим два случая:

1. m = M
Это означает, что функция постоянна на [a, b]. То есть f(x) = m = M. Следовательно в каждой точке c ∈ [a, b] => f'(c) = 0

2. m < M
Так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке "c" отрезка. Тогда из теоремы Ферма следует, что f'(c) = 0

@mathgim

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется

𝑟/𝑅 = 4⋅sin(𝛼/2)⋅sin(𝛽/2)⋅sin(𝛾/2) = cos(𝛼)+cos(𝛽)+cos(𝛾)−1

где 𝛼, 𝛽, 𝛾 — углы треугольника; 𝑟 — радиус вписанной окружности; 𝑅 — радиус описанной окружности.

#задачи

@mathgim

Теорема Лагранжа

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в каждой точке интервала (a, b). Тогда на интервале (a, b) найдётся точка "с" в которой 👆

#лагранж #теорема

@mathgim

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) на отрезке [a, b], которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует точка c ∈ [a, b] для которой

F'(c) = f'(c) - [f(b)-f(a)]/(b-a) = 0
или
f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

@mathgim

Теорема Коши

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], имеют производные на интервале (a, b), где g'(x)≠0. Тогда найдется точка c ∈ (a, b) в которой 👆

#теорема #коши

@mathgim

Доказательство

Дробь в правой части формулы Коши должна иметь смысл, поэтому дополнительно зафиксируем, что g(b) ≠ g(a). Иначе, по теореме Ролля нашлась бы точка c ∈ (a, b) в которой g'(c) = 0, что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) 👆, которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Это значит, что существует точка c ∈ (a, b) в которой F'(c) = 0 или:

f'(c) - [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] ⋅ g'(c) = 0

откуда следует, что

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(c)/g'(c)

@mathgim

🪄 Теоремы Лопиталя

Всю эту неделю мы шаг за шагом шли к сегодняшней кульминации. Вся эта цепочка теорем была не случайна. Она идеально подводит нас к главному и мощному инструменту борьбы с неопределённостями.

Правило Лопиталя у многих вызывает вопросы, так как его очень часто подают как волшебную палочку и говорят "просто возьми производную числителя и знаменателя". Но почему оно работает и как это доказать ?

Теперь это уже сделать легко, так как правило Лопиталя это прямое следствие теоремы Коши. А та, в свою очередь, опирается на теоремы Лагранжа, Ролля и Ферма.

#лопиталь #теорема

@mathgim

Формула шнурования Гаусса

Если вам известны координаты (x, y) всех вершин произвольного многоугольника, то его площадь можно найти по следующему алгоритму:

1. Умножаем "x" каждой вершины на "y" следующей вершины в порядке обхода (по или против часовой стрелки) и всё складываем.
2. Умножаем "y" каждой вершины на "x" следующей вершины и всё складываем.
3. Вычитаем вторую сумму из первой, берем модуль и делим на 2.

S = (1/2) · |Σ(xᵢ · yᵢ₊₁) - Σ(yᵢ · xᵢ₊₁)|

где (xᵢ, yᵢ) — координаты i-ой вершины, а суммирование ведётся по всем вершинам, при этом последняя вершина замыкается на первую.

📐 Пример: Возьмём треугольник с вершинами A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3)

Σ(xᵢ · yᵢ₊₁) = (0 · 0) + (4 · 3) + (0 · 0) = 12
Σ(yᵢ · xᵢ₊₁) = (0 · 4) + (0 · 0) + (3 · 0) = 0
S = (1/2) · |12 - 0| = 6

@cos_of_x, спасибо за тему для поста!

#геометрия #алгоритмы

@mathgim

Иллюзия Понцо

Какой из оранжевых отрезков длиннее ? Кажется, что верхний, но на самом деле отрезки абсолютно одинаковой длины.

Если бы мы измеряли мир только математически (линейкой), иллюзий не существовало бы. Но наш мозг не калькулятор, поэтому он интерпретирует 3D-мир по 2D-картинке. Сходящиеся линии он считывает как линейную перспективу (уходящую вдаль железную дорогу), то есть:

Если два объекта одинаковы, но один находится дальше по перспективе, значит, в реальности он должен быть БОЛЬШЕ. Иначе он выглядел бы неестественно маленьким для своего места.

Мозг автоматически применяет эту поправку на расстояние, искажая реальный размер.

Очень часто эту иллюзию используют художники и архитекторы для создания глубины. Ну а мы в очередной раз убеждаемся, что иногда доверять нельзя даже самому себе. Нужно отключать впечатления и эмоции и включать точный расчёт!

#иллюзии #понцо

@mathgim

Тождество Брахмагупты

Если два числа представимы в виде x² + ny², то и их произведение тоже представимо в той же форме!

#ТеорияЧисел #Алгебра

@mathgim

Имеет ли уравнение x² + y⁷ = z² решения в натуральных числах ?

#задачи #решения

@mathgim

Решение

🙅‍♂️ Ни одно научное открытие не было названо в честь его первооткрывателя

Это закон Стиглера (сформулированный, конечно же не самим Стиглером, а социологом Робертом Мертоном), который с помощью эмпирических наблюдений находит подтверждения и в математике. Например:

1. Числа Фибоначчи были известны ещё в Древней Индии.
2. Треугольник Паскаля был известен задолго до времён Паскаля.
3. Теорема Пифагора зафиксирована в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора.
4. Формула Кардано была открыта Николло Тартальей.

Почему так получается ? Дело в том, что идея должна созреть, а слава часто достаётся не первому, а тому, кто осмыслил, систематизировал или популяризировал идею.

Что думаете на этот счет ? Напишите самые несправедливые (на ваш взгляд) "воровства" славы в истории математики.

#законстиглера #наука #открытия

@mathgim

👩‍💻 Первый программист в истории

Cамым первым программистом в истории человечества была женщина — Ада Лавлейс, причем по образованию она была математиком!

Лавлейс родилась в Англии в 1815 году и с самого раннего детства её увлекали не только гуманитарные науки, но и математика (редкое увлечение для женщины той эпохи). Позже её наставником стал известный математик Огастес де Морган, который сразу разглядел в ней необыкновенный аналитический ум.

В 1833 году Ада познакомилась с Чарльзом Бэббиджем, создателем «Аналитической машины». В то время как многие видели в ней лишь вычислительное устройство, Ада поняла её истинный потенциал: машина могла работать не только с числами, но и с символами, выполняя любые алгоритмы.

В 1843 году Ада описала алгоритм вычисления чисел Бернулли (по сути, первую в мире компьютерную программу). Она также ввела понятия «рабочая ячейка», «цикл» и «рекурсия», заложив основы будущего программирования.

Ада предсказала, что однажды машины смогут создавать музыку, графику и даже мыслить (пророчество об ИИ) и это все задолго до появления первых компьютеров. Она писала:

Аналитическая машина не претендует на то, чтобы создавать что-то действительно новое. Но она может сделать всё, что мы умеем ей предписать.

Её идеи опередили время на столетия, и сегодня её именем назван язык программирования Ada, используемый в военных и аэрокосмических системах.

#ИсторияНауки #Программирование #АдаЛавлейс

@mathgim

Решите уравнение

#задачи #решения

@mathgim

Решение

📌 Механические приложения криволинейного интеграла 1-ого рода

(1) - масса материальной кривой 𝐿 с плотностью 𝜇.
(2) - статические моменты относительно осей 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 в двумерном случае.
(3) - статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей.
(4) - координаты центра масс в двумерном случае.
(5) - координаты центра масс в трехмерном случае.
(6) - моменты инерций относительно координатных осей в двумерном случае.
(7) - моменты инерций относительно координатных осей в трехмерном случае.

#кринты #интегралы #приложения

@mathgim