Найдите различные цифры a и b такие, что 👆

Решение — по требованию

Ответ: a = 1, b = 6

#задачи

@mathgim

Математические советы

Поймите идею, а не запоминайте формулу
Вместо того чтобы зубрить формулу квадратного уравнения, попробуйте понять, почему она работает. Выделите полный квадрат, посмотрите, что получится. Нарисуйте график и проанализируйте поведение функции. Когда вы понимаете суть, все сразу становится понятным.

Делите задачу на части
Подход "решить всё и сразу" почти всегда ведет к провалу. Разбейте задачу на маленькие, понятные шаги. Не можете доказать теорему? Сначала докажите вспомогательную лемму. Не можете взять интеграл? Упростите выражение и т.д.

Работайте над ошибками
Когда ваше решение не сошлось с ответом, не откладывайте тетрадь в сторону (не ошибается тот, кто ничего не делает). Вместо этого постарайтесь понять на каком из этапов решения вы допустили ошибку. Проведите анализ, так как понимание причины этой ошибки закрепляет материал гораздо лучше, чем десять решенных правильно задач.

Не забывайте за регулярность
Лучше решать по 30 минут каждый день, чем 5 часов в воскресенье. Мозгу нужно время, чтобы переварить сложные концепции. Постоянная практика создает нейронные связи, и то, что вчера казалось сложным, сегодня становится очевидным (только будьте осторожны с этим словом 😁)

#математика #советы #развитие

@mathgim

🖊️ День математика!

Сегодня мы отмечаем праздник всех, кто дружит с математикой:

— студентов, которые штурмуют интегралы и ряды;
— преподавателей, которые вдохновляют и передают свои знания;
— ученых, которые двигают науку вперед;
— школьников, которые только начинают свой путь в мире чисел;
— и всех, кто просто любит математику!

Пусть ваши задачи решаются легко, а вдохновение никогда не заканчивается! Спасибо за то, что делаете мир логичнее, красивее и интереснее. С праздником!

#ДеньМатематика

@mathgim

Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и во внутренней точке t этого отрезка принимает экстремальное значение. Если в точке t существует f'(t), то f'(t) = 0.

#ферма #экстремум

@mathgim

Доказательство (от противного)

Пусть t — точка экстремума (для определенности — точка минимума) функции f(x), но при этом f'(t)≠0.

Рассмотрим случай, когда f'(t) > 0. Тогда слева от точки t по теореме о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции, должно выполняться f(x) < f(t), что противоречит предположению о том, что t — точка минимума.

Если предположим, что f'(t) < 0, то f(x) < f(t) должно быть справа от точки t, чего тоже быть не может. Таким образом f'(t) = 0.

Случай, когда t — точка максимума, рассматривается аналогично.

@mathgim

Теорема Ролля

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в каждой точке интервала (a, b) и принимает на концах отрезка равные значения f(a)=f(b), то на интервале (a,b) найдётся точка с, в которой производная функции равна нулю f'(с) = 0.

#ролль #теорема #экстремум

@mathgim

Доказательство

Функция f(x) непрерывна на [a, b], а значит она принимает на этом отрезке свое наименьшее m и наибольшее M значения. Рассмотрим два случая:

1. m = M
Это означает, что функция постоянна на [a, b]. То есть f(x) = m = M. Следовательно в каждой точке c ∈ [a, b] => f'(c) = 0

2. m < M
Так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке "c" отрезка. Тогда из теоремы Ферма следует, что f'(c) = 0

@mathgim

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется

𝑟/𝑅 = 4⋅sin(𝛼/2)⋅sin(𝛽/2)⋅sin(𝛾/2) = cos(𝛼)+cos(𝛽)+cos(𝛾)−1

где 𝛼, 𝛽, 𝛾 — углы треугольника; 𝑟 — радиус вписанной окружности; 𝑅 — радиус описанной окружности.

#задачи

@mathgim

Теорема Лагранжа

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в каждой точке интервала (a, b). Тогда на интервале (a, b) найдётся точка "с" в которой 👆

#лагранж #теорема

@mathgim

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) на отрезке [a, b], которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует точка c ∈ [a, b] для которой

F'(c) = f'(c) - [f(b)-f(a)]/(b-a) = 0
или
f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

@mathgim

Теорема Коши

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], имеют производные на интервале (a, b), где g'(x)≠0. Тогда найдется точка c ∈ (a, b) в которой 👆

#теорема #коши

@mathgim

Доказательство

Дробь в правой части формулы Коши должна иметь смысл, поэтому дополнительно зафиксируем, что g(b) ≠ g(a). Иначе, по теореме Ролля нашлась бы точка c ∈ (a, b) в которой g'(c) = 0, что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) 👆, которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Это значит, что существует точка c ∈ (a, b) в которой F'(c) = 0 или:

f'(c) - [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] ⋅ g'(c) = 0

откуда следует, что

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(c)/g'(c)

@mathgim

🪄 Теоремы Лопиталя

Всю эту неделю мы шаг за шагом шли к сегодняшней кульминации. Вся эта цепочка теорем была не случайна. Она идеально подводит нас к главному и мощному инструменту борьбы с неопределённостями.

Правило Лопиталя у многих вызывает вопросы, так как его очень часто подают как волшебную палочку и говорят "просто возьми производную числителя и знаменателя". Но почему оно работает и как это доказать ?

Теперь это уже сделать легко, так как правило Лопиталя это прямое следствие теоремы Коши. А та, в свою очередь, опирается на теоремы Лагранжа, Ролля и Ферма.

#лопиталь #теорема

@mathgim

Формула шнурования Гаусса

Если вам известны координаты (x, y) всех вершин произвольного многоугольника, то его площадь можно найти по следующему алгоритму:

1. Умножаем "x" каждой вершины на "y" следующей вершины в порядке обхода (по или против часовой стрелки) и всё складываем.
2. Умножаем "y" каждой вершины на "x" следующей вершины и всё складываем.
3. Вычитаем вторую сумму из первой, берем модуль и делим на 2.

S = (1/2) · |Σ(xᵢ · yᵢ₊₁) - Σ(yᵢ · xᵢ₊₁)|

где (xᵢ, yᵢ) — координаты i-ой вершины, а суммирование ведётся по всем вершинам, при этом последняя вершина замыкается на первую.

📐 Пример: Возьмём треугольник с вершинами A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3)

Σ(xᵢ · yᵢ₊₁) = (0 · 0) + (4 · 3) + (0 · 0) = 12
Σ(yᵢ · xᵢ₊₁) = (0 · 4) + (0 · 0) + (3 · 0) = 0
S = (1/2) · |12 - 0| = 6

@cos_of_x, спасибо за тему для поста!

#геометрия #алгоритмы

@mathgim

Иллюзия Понцо

Какой из оранжевых отрезков длиннее ? Кажется, что верхний, но на самом деле отрезки абсолютно одинаковой длины.

Если бы мы измеряли мир только математически (линейкой), иллюзий не существовало бы. Но наш мозг не калькулятор, поэтому он интерпретирует 3D-мир по 2D-картинке. Сходящиеся линии он считывает как линейную перспективу (уходящую вдаль железную дорогу), то есть:

Если два объекта одинаковы, но один находится дальше по перспективе, значит, в реальности он должен быть БОЛЬШЕ. Иначе он выглядел бы неестественно маленьким для своего места.

Мозг автоматически применяет эту поправку на расстояние, искажая реальный размер.

Очень часто эту иллюзию используют художники и архитекторы для создания глубины. Ну а мы в очередной раз убеждаемся, что иногда доверять нельзя даже самому себе. Нужно отключать впечатления и эмоции и включать точный расчёт!

#иллюзии #понцо

@mathgim

Тождество Брахмагупты

Если два числа представимы в виде x² + ny², то и их произведение тоже представимо в той же форме!

#ТеорияЧисел #Алгебра

@mathgim

Имеет ли уравнение x² + y⁷ = z² решения в натуральных числах ?

#задачи #решения

@mathgim

Решение

🙅‍♂️ Ни одно научное открытие не было названо в честь его первооткрывателя

Это закон Стиглера (сформулированный, конечно же не самим Стиглером, а социологом Робертом Мертоном), который с помощью эмпирических наблюдений находит подтверждения и в математике. Например:

1. Числа Фибоначчи были известны ещё в Древней Индии.
2. Треугольник Паскаля был известен задолго до времён Паскаля.
3. Теорема Пифагора зафиксирована в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора.
4. Формула Кардано была открыта Николло Тартальей.

Почему так получается ? Дело в том, что идея должна созреть, а слава часто достаётся не первому, а тому, кто осмыслил, систематизировал или популяризировал идею.

Что думаете на этот счет ? Напишите самые несправедливые (на ваш взгляд) "воровства" славы в истории математики.

#законстиглера #наука #открытия

@mathgim