💪 Сильное утверждение

С него либо начинается новая математика, либо заканчивается академическая карьера :)

❗Сильные утверждения требуют сильных доказательств. Будьте внимательны.

@mathgim

Нормальный человек видит 👆

Математик же видит приближение математической константы :)

Давайте добиватьcя большей точности!

@mathgim

Решение

Найдите неопределенный интеграл

#задачи #решения

@mathgim

🧮 Обратная польская запись (ПОЛИЗ)

У многих из вас наверняка когда-то всплывал вопрос: каким образом калькулятор понимает приоритетность выполнения операций ?

В обычной (инфиксной) записи мы пишем оператор между операндами: (2 + 3) * 4. В нотации ПОЛИЗ (постфиксная) оператор ставится после операндов: 2 3 + 4 *

Главным преимуществом является то, что в ПОЛИЗ не нужны скобки для указания порядка действий! Алгоритм вычисления становится невероятно простым (вычисления в лоб) и идеально ложится на архитектуру компьютера (с использованием стека).

Рассмотрим как это работает на примере выражения:
-(b^2+√(4))*a/(a-1)

1. Алгоритм конвератции выражения с инфиксной записи на постфиксную

Если оператор # — бинарный, то выражение A # B записывается как #(B,A). Если же оператор # — унарный, то выражения записывается как #(A). Таким образом:

b^2 = ^(2,b) = x
√(4) = √(4) = y
a-1 = -(1,a) = z
x+y = +(y,x) = +(√(4), ^(2,b))
-(x+y) = -(+(√(4), ^(2,b)))
-(x+y)*a = *(a,-(+(√(4), ^(2,b))))
-(x+y)*a/z = /(z, -(x+y)*a) = /(-(1,a), *(a,-(+(√(4), ^(2,b)))))

2. Стираем все скобки и запятые

/-1a*a-+√4^2b

3. Полученное выражение будем читать справа налево:

— если встречаем число, то кладём его в стек;
— если встречаем оператор, то извлекаем из стека нужное количество операндов, применяем к ним оператор и результат кладём обратно в стек;
— в конце в стеке остаётся один элемент, который и будет ответом.

4. Вычисление (положим a = 4 и b = 1)

[1]
[1,2]^
[1]
[1,4]√
[1,2]+
[3]-
[-3]
[-3,4]*
[-12]
[-12,4]
[-12,4,1]-
[-12,3]/
[-4]

Простой подстановкой можно убедиться, что ответ действительно должен быть равен -4 !

#полиз #алгоритмы

@mathgim

Решение

Найдите различные цифры a и b такие, что 👆

Решение — по требованию

Ответ: a = 1, b = 6

#задачи

@mathgim

Математические советы

Поймите идею, а не запоминайте формулу
Вместо того чтобы зубрить формулу квадратного уравнения, попробуйте понять, почему она работает. Выделите полный квадрат, посмотрите, что получится. Нарисуйте график и проанализируйте поведение функции. Когда вы понимаете суть, все сразу становится понятным.

Делите задачу на части
Подход "решить всё и сразу" почти всегда ведет к провалу. Разбейте задачу на маленькие, понятные шаги. Не можете доказать теорему? Сначала докажите вспомогательную лемму. Не можете взять интеграл? Упростите выражение и т.д.

Работайте над ошибками
Когда ваше решение не сошлось с ответом, не откладывайте тетрадь в сторону (не ошибается тот, кто ничего не делает). Вместо этого постарайтесь понять на каком из этапов решения вы допустили ошибку. Проведите анализ, так как понимание причины этой ошибки закрепляет материал гораздо лучше, чем десять решенных правильно задач.

Не забывайте за регулярность
Лучше решать по 30 минут каждый день, чем 5 часов в воскресенье. Мозгу нужно время, чтобы переварить сложные концепции. Постоянная практика создает нейронные связи, и то, что вчера казалось сложным, сегодня становится очевидным (только будьте осторожны с этим словом 😁)

#математика #советы #развитие

@mathgim

🖊️ День математика!

Сегодня мы отмечаем праздник всех, кто дружит с математикой:

— студентов, которые штурмуют интегралы и ряды;
— преподавателей, которые вдохновляют и передают свои знания;
— ученых, которые двигают науку вперед;
— школьников, которые только начинают свой путь в мире чисел;
— и всех, кто просто любит математику!

Пусть ваши задачи решаются легко, а вдохновение никогда не заканчивается! Спасибо за то, что делаете мир логичнее, красивее и интереснее. С праздником!

#ДеньМатематика

@mathgim

Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и во внутренней точке t этого отрезка принимает экстремальное значение. Если в точке t существует f'(t), то f'(t) = 0.

#ферма #экстремум

@mathgim

Доказательство (от противного)

Пусть t — точка экстремума (для определенности — точка минимума) функции f(x), но при этом f'(t)≠0.

Рассмотрим случай, когда f'(t) > 0. Тогда слева от точки t по теореме о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции, должно выполняться f(x) < f(t), что противоречит предположению о том, что t — точка минимума.

Если предположим, что f'(t) < 0, то f(x) < f(t) должно быть справа от точки t, чего тоже быть не может. Таким образом f'(t) = 0.

Случай, когда t — точка максимума, рассматривается аналогично.

@mathgim

Теорема Ролля

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в каждой точке интервала (a, b) и принимает на концах отрезка равные значения f(a)=f(b), то на интервале (a,b) найдётся точка с, в которой производная функции равна нулю f'(с) = 0.

#ролль #теорема #экстремум

@mathgim

Доказательство

Функция f(x) непрерывна на [a, b], а значит она принимает на этом отрезке свое наименьшее m и наибольшее M значения. Рассмотрим два случая:

1. m = M
Это означает, что функция постоянна на [a, b]. То есть f(x) = m = M. Следовательно в каждой точке c ∈ [a, b] => f'(c) = 0

2. m < M
Так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке "c" отрезка. Тогда из теоремы Ферма следует, что f'(c) = 0

@mathgim

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется

𝑟/𝑅 = 4⋅sin(𝛼/2)⋅sin(𝛽/2)⋅sin(𝛾/2) = cos(𝛼)+cos(𝛽)+cos(𝛾)−1

где 𝛼, 𝛽, 𝛾 — углы треугольника; 𝑟 — радиус вписанной окружности; 𝑅 — радиус описанной окружности.

#задачи

@mathgim

Теорема Лагранжа

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в каждой точке интервала (a, b). Тогда на интервале (a, b) найдётся точка "с" в которой 👆

#лагранж #теорема

@mathgim

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) на отрезке [a, b], которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует точка c ∈ [a, b] для которой

F'(c) = f'(c) - [f(b)-f(a)]/(b-a) = 0
или
f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

@mathgim

Теорема Коши

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], имеют производные на интервале (a, b), где g'(x)≠0. Тогда найдется точка c ∈ (a, b) в которой 👆

#теорема #коши

@mathgim

Доказательство

Дробь в правой части формулы Коши должна иметь смысл, поэтому дополнительно зафиксируем, что g(b) ≠ g(a). Иначе, по теореме Ролля нашлась бы точка c ∈ (a, b) в которой g'(c) = 0, что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) 👆, которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Это значит, что существует точка c ∈ (a, b) в которой F'(c) = 0 или:

f'(c) - [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] ⋅ g'(c) = 0

откуда следует, что

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(c)/g'(c)

@mathgim

🪄 Теоремы Лопиталя

Всю эту неделю мы шаг за шагом шли к сегодняшней кульминации. Вся эта цепочка теорем была не случайна. Она идеально подводит нас к главному и мощному инструменту борьбы с неопределённостями.

Правило Лопиталя у многих вызывает вопросы, так как его очень часто подают как волшебную палочку и говорят "просто возьми производную числителя и знаменателя". Но почему оно работает и как это доказать ?

Теперь это уже сделать легко, так как правило Лопиталя это прямое следствие теоремы Коши. А та, в свою очередь, опирается на теоремы Лагранжа, Ролля и Ферма.

#лопиталь #теорема

@mathgim