Дана дифференцируемая функция f(x), а F(x) — ее первообразная, удовлетворяющая условию 👆. Вычислите предел.

#задачи #решения

@mathgim

Коэффициенты ряда Фурье четных и нечетных функций

Если f(x) — четная функция, то произведение f(x)sin(nx) — функция нечетная и по известному свойству определенного интеграла от нечетной функции bₙ = 0. Нет необходимости вычислять интеграл, достаточно проверить функцию на нечетность и сразу записать ответ. Собственно @Danildddddddd на примере функции f(x) = x² это уже показал. Произведение f(x)cos(nx) в этом случае — четная функция, поэтому aₙ будет равно удвоенному интегралу от 0 до π.

Если f(x) — нечетная функция, то ситуация будет абсолютно противоположная: aₙ = 0, так как f(x)cos(nx) функция нечетная и bₙ будет равно удвоенному интегралу f(x)sin(nx) от 0 до π.

#фурье #четность #нечетность

@mathgim

Решение

Найдите количество прямоугольных треугольников, длины сторон которых являются натуральными числами, а периметр равен 2025.

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Вычислите предел

#задачи #решения

@mathgim

💪 Сильное утверждение

С него либо начинается новая математика, либо заканчивается академическая карьера :)

❗Сильные утверждения требуют сильных доказательств. Будьте внимательны.

@mathgim

Нормальный человек видит 👆

Математик же видит приближение математической константы :)

Давайте добиватьcя большей точности!

@mathgim

Решение

Найдите неопределенный интеграл

#задачи #решения

@mathgim

🧮 Обратная польская запись (ПОЛИЗ)

У многих из вас наверняка когда-то всплывал вопрос: каким образом калькулятор понимает приоритетность выполнения операций ?

В обычной (инфиксной) записи мы пишем оператор между операндами: (2 + 3) * 4. В нотации ПОЛИЗ (постфиксная) оператор ставится после операндов: 2 3 + 4 *

Главным преимуществом является то, что в ПОЛИЗ не нужны скобки для указания порядка действий! Алгоритм вычисления становится невероятно простым (вычисления в лоб) и идеально ложится на архитектуру компьютера (с использованием стека).

Рассмотрим как это работает на примере выражения:
-(b^2+√(4))*a/(a-1)

1. Алгоритм конвератции выражения с инфиксной записи на постфиксную

Если оператор # — бинарный, то выражение A # B записывается как #(B,A). Если же оператор # — унарный, то выражения записывается как #(A). Таким образом:

b^2 = ^(2,b) = x
√(4) = √(4) = y
a-1 = -(1,a) = z
x+y = +(y,x) = +(√(4), ^(2,b))
-(x+y) = -(+(√(4), ^(2,b)))
-(x+y)*a = *(a,-(+(√(4), ^(2,b))))
-(x+y)*a/z = /(z, -(x+y)*a) = /(-(1,a), *(a,-(+(√(4), ^(2,b)))))

2. Стираем все скобки и запятые

/-1a*a-+√4^2b

3. Полученное выражение будем читать справа налево:

— если встречаем число, то кладём его в стек;
— если встречаем оператор, то извлекаем из стека нужное количество операндов, применяем к ним оператор и результат кладём обратно в стек;
— в конце в стеке остаётся один элемент, который и будет ответом.

4. Вычисление (положим a = 4 и b = 1)

[1]
[1,2]^
[1]
[1,4]√
[1,2]+
[3]-
[-3]
[-3,4]*
[-12]
[-12,4]
[-12,4,1]-
[-12,3]/
[-4]

Простой подстановкой можно убедиться, что ответ действительно должен быть равен -4 !

#полиз #алгоритмы

@mathgim

Решение

Найдите различные цифры a и b такие, что 👆

Решение — по требованию

Ответ: a = 1, b = 6

#задачи

@mathgim

Математические советы

Поймите идею, а не запоминайте формулу
Вместо того чтобы зубрить формулу квадратного уравнения, попробуйте понять, почему она работает. Выделите полный квадрат, посмотрите, что получится. Нарисуйте график и проанализируйте поведение функции. Когда вы понимаете суть, все сразу становится понятным.

Делите задачу на части
Подход "решить всё и сразу" почти всегда ведет к провалу. Разбейте задачу на маленькие, понятные шаги. Не можете доказать теорему? Сначала докажите вспомогательную лемму. Не можете взять интеграл? Упростите выражение и т.д.

Работайте над ошибками
Когда ваше решение не сошлось с ответом, не откладывайте тетрадь в сторону (не ошибается тот, кто ничего не делает). Вместо этого постарайтесь понять на каком из этапов решения вы допустили ошибку. Проведите анализ, так как понимание причины этой ошибки закрепляет материал гораздо лучше, чем десять решенных правильно задач.

Не забывайте за регулярность
Лучше решать по 30 минут каждый день, чем 5 часов в воскресенье. Мозгу нужно время, чтобы переварить сложные концепции. Постоянная практика создает нейронные связи, и то, что вчера казалось сложным, сегодня становится очевидным (только будьте осторожны с этим словом 😁)

#математика #советы #развитие

@mathgim

🖊️ День математика!

Сегодня мы отмечаем праздник всех, кто дружит с математикой:

— студентов, которые штурмуют интегралы и ряды;
— преподавателей, которые вдохновляют и передают свои знания;
— ученых, которые двигают науку вперед;
— школьников, которые только начинают свой путь в мире чисел;
— и всех, кто просто любит математику!

Пусть ваши задачи решаются легко, а вдохновение никогда не заканчивается! Спасибо за то, что делаете мир логичнее, красивее и интереснее. С праздником!

#ДеньМатематика

@mathgim

Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и во внутренней точке t этого отрезка принимает экстремальное значение. Если в точке t существует f'(t), то f'(t) = 0.

#ферма #экстремум

@mathgim

Доказательство (от противного)

Пусть t — точка экстремума (для определенности — точка минимума) функции f(x), но при этом f'(t)≠0.

Рассмотрим случай, когда f'(t) > 0. Тогда слева от точки t по теореме о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции, должно выполняться f(x) < f(t), что противоречит предположению о том, что t — точка минимума.

Если предположим, что f'(t) < 0, то f(x) < f(t) должно быть справа от точки t, чего тоже быть не может. Таким образом f'(t) = 0.

Случай, когда t — точка максимума, рассматривается аналогично.

@mathgim