Ряды Фурье

Тригонометрическим рядом называется ряд вида f(x). Очевидно, что функция f(x) является периодической функцией с периодом 2π (как сумма периодических функций). Коэффициенты ряда aₙ и bₙ выражаются через саму функцию f(x) с помощью свойства ортогональности системы тригонометрических функций.

Если вдруг вывод формул для коэффициентов вызывает затруднения — дайте знать!

#определение #фурье

@mathgim

Разложите функцию f(x) = x² в ряд Фурье

#задачи #решения

@mathgim

📐 Математика фортификации

Цитирую фрагмент из книги:

Вместо квадрата или прямоугольника, как это делалось до сих пор, придайте площади вид правильного шестиугольника. Этот многоугольник имеет то преимущество, что в нем больше углов, чем в четырехугольнике. Каждую сторону вашего шестиугольника (размер которого вы определите на месте) разделите пополам. От средней точки вы проведете перпендикуляр к центру многоугольника; он будет равняться длине шестой части периметра. От крайних точек каждой стороны многоугольника вы проведете две диагонали, которые пересекут перпендикуляр. Эти две прямые образуют линии обороны....

Это не задача из учебника по геометрии, как вы могли бы в самом начале подумать, а настоящий проект военного укрепления из романа Александра Дюма «Виконт де Бражелон или еще Десять лет спустя», где Портос объясняет д'Артаньяну как построить неприступную крепость на острове Бель-Иль. Он описывает передовую для 17 века бастионную систему укреплений, в основе которой лежит чистая математика.

Правильный шестиугольник как оптимальная фигура нам уже несколько раз встречалась здесь и тут, поэтому ее выбор не случаен. По сравнению с квадратом, у шестиугольника больше углов (бастионов), а значит больше направлений для ведения огня. Главная цель — устранить мертвые зоны и обеспечить перекрестный обстрел подходящего к стенам противника. Точки пересечения прямых, которые находят герои, определяют места пушек, которые будут простреливать пространство перед соседним бастионом.

Приятно неожиданно встречать подобные примеры прикладной геометрии и осознавать, что еще до появления сложных вычислений инженеры использовали правильные многоугольники, симметрию и точные построения, чтобы создавать эффективные укрепления. Уже в то время математика была не просто абстракцией, а реальным инструментом, который спасал жизни на поле боя.

И да, это тот самый роман, который я выбрал для эксперимента :)

#математика #история #геометрия

@mathgim

➡️ Связь Гамма и Бета функций

В новом видео выведем одну из основных формул между Бета и Гамма функциями.

#бетафункция #гаммафункция

@mathgim

Решение

Хороший вопрос

Публикую и здесь ответ на случай, если кто-то тоже столкнулся с трудностями в этом переходе.

#вопросы #ответы

@mathgim

Дана дифференцируемая функция f(x), а F(x) — ее первообразная, удовлетворяющая условию 👆. Вычислите предел.

#задачи #решения

@mathgim

Коэффициенты ряда Фурье четных и нечетных функций

Если f(x) — четная функция, то произведение f(x)sin(nx) — функция нечетная и по известному свойству определенного интеграла от нечетной функции bₙ = 0. Нет необходимости вычислять интеграл, достаточно проверить функцию на нечетность и сразу записать ответ. Собственно @Danildddddddd на примере функции f(x) = x² это уже показал. Произведение f(x)cos(nx) в этом случае — четная функция, поэтому aₙ будет равно удвоенному интегралу от 0 до π.

Если f(x) — нечетная функция, то ситуация будет абсолютно противоположная: aₙ = 0, так как f(x)cos(nx) функция нечетная и bₙ будет равно удвоенному интегралу f(x)sin(nx) от 0 до π.

#фурье #четность #нечетность

@mathgim

Решение

Найдите количество прямоугольных треугольников, длины сторон которых являются натуральными числами, а периметр равен 2025.

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Вычислите предел

#задачи #решения

@mathgim

💪 Сильное утверждение

С него либо начинается новая математика, либо заканчивается академическая карьера :)

❗Сильные утверждения требуют сильных доказательств. Будьте внимательны.

@mathgim

Нормальный человек видит 👆

Математик же видит приближение математической константы :)

Давайте добиватьcя большей точности!

@mathgim

Решение

Найдите неопределенный интеграл

#задачи #решения

@mathgim

🧮 Обратная польская запись (ПОЛИЗ)

У многих из вас наверняка когда-то всплывал вопрос: каким образом калькулятор понимает приоритетность выполнения операций ?

В обычной (инфиксной) записи мы пишем оператор между операндами: (2 + 3) * 4. В нотации ПОЛИЗ (постфиксная) оператор ставится после операндов: 2 3 + 4 *

Главным преимуществом является то, что в ПОЛИЗ не нужны скобки для указания порядка действий! Алгоритм вычисления становится невероятно простым (вычисления в лоб) и идеально ложится на архитектуру компьютера (с использованием стека).

Рассмотрим как это работает на примере выражения:
-(b^2+√(4))*a/(a-1)

1. Алгоритм конвератции выражения с инфиксной записи на постфиксную

Если оператор # — бинарный, то выражение A # B записывается как #(B,A). Если же оператор # — унарный, то выражения записывается как #(A). Таким образом:

b^2 = ^(2,b) = x
√(4) = √(4) = y
a-1 = -(1,a) = z
x+y = +(y,x) = +(√(4), ^(2,b))
-(x+y) = -(+(√(4), ^(2,b)))
-(x+y)*a = *(a,-(+(√(4), ^(2,b))))
-(x+y)*a/z = /(z, -(x+y)*a) = /(-(1,a), *(a,-(+(√(4), ^(2,b)))))

2. Стираем все скобки и запятые

/-1a*a-+√4^2b

3. Полученное выражение будем читать справа налево:

— если встречаем число, то кладём его в стек;
— если встречаем оператор, то извлекаем из стека нужное количество операндов, применяем к ним оператор и результат кладём обратно в стек;
— в конце в стеке остаётся один элемент, который и будет ответом.

4. Вычисление (положим a = 4 и b = 1)

[1]
[1,2]^
[1]
[1,4]√
[1,2]+
[3]-
[-3]
[-3,4]*
[-12]
[-12,4]
[-12,4,1]-
[-12,3]/
[-4]

Простой подстановкой можно убедиться, что ответ действительно должен быть равен -4 !

#полиз #алгоритмы

@mathgim