Докажите, что при любом n ∈ N верно неравенство

#задачи #решения

@mathgim

🎧 Как Shazam узнает песню за 5-10 секунд ?

Буквально недавно искал трек через Shazam и вспомнился один разговор с подписчиком на тему: зачем создавать/выводить то, что потом не знаешь как применить в жизни ?

Тогда я ответил так:

Создавайте и как можно больше, даже если вам кажется что смысла нет. Необязательно задаваться вопросом зачем это нужно. Если вам не удастся найти смысл, за вас это сделают другие!

И вот пожалуйста, еще один наглядный пример: сложнейший математический аппарат (преобразование Фурье) был разработан французским учёным Жаном-Батистом Фурье почти 200 лет назад. Согласитесь, сложно представить более абстрактную и далекую от жизни вещь для того времени. А сегодня он работает в каждом смартфоне и позволяет нам искать любимые треки по следующему принципу:

Любой звук является сложной звуковой волной. Преобразование Фурье позволяет разложить эту волну на простые составляющие (частоты). Shazam записывает короткий фрагмент звука. Далее алгоритм преобразует его в частотный спектр (так называемый "отпечаток пальца" песни или по сути тот же график), который сравнивается (за секунды!) с огромной базой данных уже обработанных треков.

Поэтому вывод остается все тот же: продолжайте творить! Ваше «бесполезное» увлечение сегодня может завтра изменить чью-то жизнь. А может, и мир.

#shazam #математика #фурье

@mathgim

Решение

🚫 Что для вас в математике было и до сих пор является самым большим камнем преткновения ?

Докажите, что числа

aₙ = 7n + 2 и bₙ = 9n + 1

не могут быть одновременно точными квадратами при одном и том же n ∈ N.

#задачи #решения

@mathgim

Решение

🛒 Линейная алгебра в рекомендациях

Уже начались и будут продолжаться предновогодние распродажи, такие как 11.11, Чёрная пятница и т.д. В этот период вы всё чаще будете видеть надписи «Купите также...» или «Вам может понравиться». Эти рекомендации не случайны и являются результатом работы алгоритмов, основанных на линейной алгебре.

Вся история действий пользователей хранится в большой матрице, где в строках находятся сами пользователи, в столбцах — товары, а на пересечении — действия пользователей: покупки, просмотры, оценки. Как вы наверно уже догадались, большинство элементов такой матрицы будут заполнены нулями (разреженная матрица), так как 1 человек не взаимодействует с большей частью известных товаров. Соответственно размерность такой матрицы будет огромной. Хранить её и оперировать с ней очень сложно. Поэтому на помощь приходят алгоритмы сжатия матриц (например, см. раздел "сокращенное представление"), которые раскладывают её в произведение матриц поменьше, каждая из которых несет свой смысл для пользователей и товаров. Когда система хочет порекомендовать конкретному пользователю определенный товар, то она вычисляет скалярное произведение векторов и если результат окажется высоким, то данный товар будет с наибольшей вероятностью рекомендован.

Таким образом, рекомендации будут становится точнее с каждым новым просмотром товара или его покупкой. Это помогает находить именно то, что действительно может заинтересовать и самое главное позволяет экономить время на поиск подходящих товаров.

#ЛинейнаяАлгебра

@mathgim

Действительные положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению a²+b²+c² = 1. Докажите неравенство 👆

#задачи #решения

@mathgim

💳 Как платежные системы проверяют корректность номера банковских карт ?

Все благодаря простому математическому правилу — алгоритму Луна:

1. Цифры проверяемой последовательности нумеруются справа налево.
2. Цифры, оказавшиеся на нечётных местах, остаются без изменений.
3. Цифры, стоящие на чётных местах, умножаются на 2.
4. Если в результате такого умножения возникает число больше 9, оно заменяется суммой цифр получившегося произведения — однозначным числом, то есть цифрой.
5. Все полученные в результате преобразования цифры складываются. Если сумма кратна 10, то исходные данные верны.

Пример: проверим номер карты 4561 2612 1234 5467

Сумма цифр на нечетных местах
7+4+4+2+2+6+1+5 = 31
Сумма цифр на четных местах
(1+2)+(1+0)+6+2+2+4+(1+2)+8 = 29
Итого получаем
31+29 = 60 (кратно 10) => номер корректный.

Эта простая контрольная сумма моментально отсекает большую часть всех случайных опечаток при вводе номера карты.

#Алгоритмы #Безопасность #Финансы

@mathgim

Решение

Действительные положительные числа x, y, z, a, b удовлетворяют равенствам 👆. Найдите равенство, верное для x, y, z

#задачи #решения

@mathgim

♟ Чему на самом деле учат шахматы ?

В народе принято считать, что шахматы развивают логику и это действительно так, но это лишь часть правды! Хотелось бы показать, что шахматы это история не только про вычисление вариантов и ходов наперед, а больше про развитие тех навыков, которые пригодятся нам за пределами доски.

1. Вы можете строить гениальный план, но ваш соперник всегда имеет свое мнение на этот счет. Шахматы учат не цепляться за первоначальную идею, а гибко менять стратегию, подстраиваясь под новые обстоятельства. Это как в математике: если первая гипотеза не доказала теорему, нужно искать другую и менять подходы к решению задачи.

2. Стоит проявить только одну секунду невнимательности и ваша фигура может быть потеряна или еще хуже — будет поставлен мат. Игра учит полностью отключаться от внешнего шума и погружаться в задачу, тренируя свою фокусировку. Для сравнения, листание коротких видео (Shorts) заставляет наоборот быстро переключаться между разными темами и поглощать информационный шум.

3. За доской не на кого переложить вину. Каждый ход является вашим личным решением, и его последствия будут исключительно вашей ответственностью. Любая ошибка (не только в шахматах, но и в жизни) это не поражение, а только начало пути к улучшению.

4. Вы учитесь:
— ценить каждый ход, каждую пешку, каждую секунду на часах. Промедление так же опасно, как и поспешность. Играя в шахматы вы непроизвольно обучаетесь управлению временем;
— не сдаваться после ошибки, а искать шансы в худшей позиции;
— хладнокровно защищаться под давлением, не поддаваясь панике;
— не переоценивать себя при локальной победе (например, потере ферзя у противника) и видеть реальную картину;
— оценивать не отдельные ходы, а позицию в целом (безопасность короля, структуру пешек, контроль центра). Это умение разбивать сложную проблему на ключевые компоненты. Излишне объяснять, что в математике это сплошь и рядом необходимо;
— соблюдать баланс между риском и осторожностью. Например, когда атаковать, а когда укреплять оборону ? Здесь развивается то самое чувство момента, когда и как нужно действовать;
— уважать соперника, так как сильный оппонент заставляет вас расти. Не зря в шахматах придуман ритуал рукопожатия до и после партии, который является символом уважения к тому, кто бросил вызов вашему интеллекту. Два математика вместе могут свернуть горы. Один развивает другого и стратегия сотрудничества в теории игр (как мы уже обсуждали с вами) является самой выгодной!

Можно продолжать список и дальше, но трудно описать в одном посте все, чему вы можете научится в этой игре (даже не замечая этого). Поэтому советую вам (кто еще не увлекается) это хобби, которое я очень люблю.

#Шахматы #Математика #ПринятиеРешений

@mathgim

Решение

Докажите, что для действительных положительных чисел a, b, c, d выполняется неравенство

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Непрерывные на отрезке [a, b] функции f₁(x) и f₂(x) называются ортогональными на этом отрезке, если их скалярное произведение равно нулю 👆

Обозначение: f₁(x) ⊥ f₂(x)

#определение #фурье

@mathgim

Докажите, что тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке [-π, π]. Иными словами, необходимо проверить ортогональность следующих функций:

1 ⊥ cos(nx)
1 ⊥ sin(nx)
cos(nx) ⊥ sin(mx)
cos(nx) ⊥ cos(mx)
sin(nx) ⊥ sin(mx)

Решение — по требованию

#задачи #фурье

@mathgim

Ряды Фурье

Тригонометрическим рядом называется ряд вида f(x). Очевидно, что функция f(x) является периодической функцией с периодом 2π (как сумма периодических функций). Коэффициенты ряда aₙ и bₙ выражаются через саму функцию f(x) с помощью свойства ортогональности системы тригонометрических функций.

Если вдруг вывод формул для коэффициентов вызывает затруднения — дайте знать!

#определение #фурье

@mathgim

Разложите функцию f(x) = x² в ряд Фурье

#задачи #решения

@mathgim