Числа Софи Жермен

Простое число p называется числом Софи Жермен, если 2p + 1 тоже простое.

Примеры: 2, 3, 5, 11, 23, 29...

Число 2p+1, связанное с простым числом Софи Жермен, называется безопасным простым числом. Предполагается, что количество таких чисел бесконечно, но это открытый вопрос.

Число Софи Жермен находят широкое применение в криптографии.

#ТеорияЧисел #ПростыеЧисла

@mathgim

Решение

Как найти площадь сложного многоугольника без интегралов ?

Представьте, что у вас есть многоугольник, все вершины которого лежат в узлах клетчатой бумаги. Можно ли быстро найти его площадь ?

Формула Пика дает элегантный ответ:

S = В + Г/2 − 1, где:

В — количество узлов внутри многоугольника;
Г — количество узлов на границе.

Пример: прямоугольник 3×4 имеет В=6, Г=14 → S=6+7−1=12 (что совпадает с 3×4=12)

Эта формула — прекрасный пример связи комбинаторики и геометрии!

#Геометрия #Комбинаторика

@mathgim

Решите систему уравнений на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Теорема Вивиани

Для любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма расстояний до его сторон постоянна и равна высоте треугольника!

Доказательство через площади:

Площадь треугольника = сумме площадей трех маленьких треугольников

S = (a·m + a·n + a·l) / 2 = a·(m+n+l) / 2

Но также S = a·h/2

Значит m+n+l = h

Элегантная геометрическая теорема, которая удивляет своей простотой и красотой!

#Геометрия #Треугольник

@mathgim

Возьмем одну из самых ярких диагоналей, идущую из центра влево-вверх. На ней лежат числа: 5, 17, 37, 65... Найдем формулу. Предположим, она имеет вид:

f(n) = an² + bn + c

Подставим значения:
Для n=1: a + b + c = 5
Для n=2: 4a + 2b + c = 17
Для n=3: 9a + 3b + c = 37

Решив эту систему, получим: a=4, b=0, c=1.
Таким образом, наша диагональ описывается формулой: f(n) = 4n² + 1

И это работает! Проверим для n=4: 4*16 + 1 = 65 — что и является следующим числом в последовательности.

Разные диагонали соответствуют разным квадратичным многочленам, например:

4n² - 2n + 1 — дает другую диагональ с простыми числами: 3, 13, 31...

n² - n + 41 — знаменитая формула Эйлера, которая генерирует 40 простых чисел подряд!

Даже в кажущемся хаосе есть скрытая структура и возможно, мы просто еще не нашли правильный угол зрения.

#ТеорияЧисел #ПростыеЧисла

@mathgim

Решите уравнение на множестве действительных чисел

#задачи #решения

@mathgim

Решение

📌 Признак делимости на 7

Чтобы проверить, делится ли число на 7, нужно:

1. Отбросить у числа последнюю цифру.
2. От оставшегося числа вычесть удвоенную отброшенную цифру.
3. Если полученный результат делится на 7, то и исходное число делится на 7.

Пример: проверим число 161

16 - 2×1 = 14 (делится на 7) => 161 делится на 7

Это правило основано на свойствах десятичной системы счисления, а также на фундаментальных свойствах делимости и взаимно простых чисел.

#ТеорияЧисел #Делимость #Математика

@mathgim

Ваше мнение важно!

Друзья, на канале уже накопилось изрядное количество постов! И стало безумно интересно, какие из них нашли самый живой отклик у вас.

Напишите или прикрепите ссылку на тот ОДИН (или несколько) пост/ов с этого канала, который:

— удивил вас больше всего;
— заставил сказать «Вау!»;
— показался вам самым элегантным, красивым или гениальным;
— заставил углубиться в тему поглубже;
— просто запомнился вам сильнее других.

Ваши ответы помогут понять, в каком направлении двигаться дальше, чтобы создавать еще больше крутого контента! 🙏

#обратнаясвязь

@mathgim

Спираль Феодора Киренского

Задолго до появления алгебры древнегреческие математики решали задачи геометрически. Феодор Киренский (учитель Платона) для извлечения квадратных корней использовал изящную конструкцию — спираль корней.

Как это работает ?
1. Строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Гипотенуза = √2.
2. К полученной гипотенузе пристраиваем новый катет длиной 1. Новая гипотенуза = √3.
3. Повторяем процесс, каждый раз добавляя катет длиной 1.

В результате получается спираль, где каждый следующий отрезок имеет длину √n. Таким образом, Феодор мог геометрически построить отрезки, равные √2, √3, √4, √5 и так далее.

Эта спираль является наглядной демонстрацией связи алгебры и геометрии. Она показывает, как древние мыслили категориями длин и площадей, а не символов и уравнений.

#Геометрия #ИсторияМатематики

@mathgim

Теорема о биссектрисе: скрытая пропорция в треугольнике

Все знают, что биссектриса делит угол пополам. Но знаете ли вы, что она также делит и противоположную сторону в строгом соотношении?

Формулировка:
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Если в треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, то BD / DC = AB / AC

Эта теорема является мощным инструментом для решения геометрических задач без сложных вычислений. Она мгновенно дает соотношения длин, открывая скрытую симметрию треугольника.

#Геометрия #Треугольник #Теорема

@mathgim

Чему равно значение выражения 👆, если a²+a+1=0 ?

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Способ №2

Умножим обе части равенства на (a-1), где a ≠ 1

(a-1)(a²+a+1)=0
a³-1=0
a³ = 1

Тогда:
a²⁰²⁵+1/a²⁰²⁵ = (a³)⁶⁷⁵+1/(a³)⁶⁷⁵ = 1⁶⁷⁵+1/1⁶⁷⁵ = 1+1 = 2

Три девятки

Первые три цифры произведения есть умножаемое число, уменьшенное на 1, а остальные три цифры дополняют найденные три цифры до 9.

@mathgim

Эксперимент

Всем привет! 👋 Сейчас нахожусь в процессе подготовки поста про уязвимые места ИИ и параллельно хотел бы попросить вас (при наличии желания) принять участие в одном любопытном эксперименте.

1. Возьмите любую книгу, которую вы хорошо знаете. Идеально, если это популярная классика или бестселлер, тогда шанс, что она есть в тренировочных данных нейросети будет выше.
2. Выберите одну конкретную главу. Укажите её номер и название (и то и то нужно для страховки, так как нумерация и переводы могут отличаться в различных изданиях).
3. Обратитесь к разным ИИ-моделям с одним и тем же запросом, который однозначно идентифицирует главу:
Сделай краткий пересказ главы [Номер главы] [Название главы] из книги [Название книги] автора [Имя Фамилия автора]
4. Сверьте результат с оригиналом. Предварительно (если сами плохо помните содержание) лучше самостоятельно перечитать главу.
5. Поделитесь результатом в комментариях, например: совпало содержание с реальным ? Если нет, то какие ошибки наблюдали ? Какая нейросеть справилась лучше ? ...

Что получилось у меня и почему именно этот эксперимент ?

В последнее время часто слышу, как люди в силу экономии времени просят ИИ сделать выжимку из книги, чтобы решить, стоит ли тратить время на самостоятельное прочтение. Многие даже доверяют нейросетям правку и анализ различных документов (от рабочих отчётов до научных статей). Поэтому интересно тестировать ИИ именно в этом, самом практическом направлении. В итоге мне пришлось столкнуться с так называемым явлением галлюцинаций. Выбранная мной глава из известного романа была пересказана так, что содержание полностью разошлось с реальным. ИИ уверенно додумал сюжетные линии, которых в книге вообще не существует, добавил персонажам мотивы и действия, не имеющие к оригиналу никакого отношения. Получилась правдоподобная, но абсолютно вымышленная ерунда.

После этого закономерно возникают вопросы:

1. Как вообще можно доверять этому инструменту в вопросах, требующих абсолютной точности (например в математике) ?
2. Где та грань, когда полезный помощник превращается в источник дезинформации ?
3. Не приведут ли ошибки ИИ к новым проблемам между теми, кто умеет критически проверять его ответы, и теми, кто слепо доверяет ?

#ИИ #Эксперимент #Нейросети

@mathgim

Докажите, что произведение любых двух корней многочлена P(x) является корнем многочлена Q(x)

#задачи #решения

@mathgim