Уравнение Пелля
В Древней Греции Архимед среди прочих задач сформулировал проблему, известную как задача о быках. Её решение сводилось к уравнению 👆, где n — не является квадратом целого числа.
Это уравнение кажется простым, но его решения в натуральных числах (x, y) для разных n ведут себя очень интересно! Рассмотрим пример для n=2, то есть имеем уравнение:
x² - 2y² = 1
Наименьшее решение: (3, 2)
Следующее решение: (17, 12)
Числа растут быстро!
Следующее решение уже (99, 70)
Решения этого уравнения тесно связаны с цепными дробями и помогают находить лучшие рациональные приближения для иррациональных чисел, например, √2. То есть, если для определенного n было получено решение (x,y), то отношение x/y будет приближением √n. К тому же, чем больше x и y, тем точнее будет результат!
#ТеорияЧисел #ДиофантовыУравнения #ИсторияМатематики
@mathgim
В Древней Греции Архимед среди прочих задач сформулировал проблему, известную как задача о быках. Её решение сводилось к уравнению 👆, где n — не является квадратом целого числа.
Это уравнение кажется простым, но его решения в натуральных числах (x, y) для разных n ведут себя очень интересно! Рассмотрим пример для n=2, то есть имеем уравнение:
x² - 2y² = 1
Наименьшее решение: (3, 2)
Следующее решение: (17, 12)
Числа растут быстро!
Следующее решение уже (99, 70)
Решения этого уравнения тесно связаны с цепными дробями и помогают находить лучшие рациональные приближения для иррациональных чисел, например, √2. То есть, если для определенного n было получено решение (x,y), то отношение x/y будет приближением √n. К тому же, чем больше x и y, тем точнее будет результат!
#ТеорияЧисел #ДиофантовыУравнения #ИсторияМатематики
@mathgim
🔥11🥰1
Закон Бенфорда: почему 1 встречается чаще 9 ?
В реальных наборах чисел (население городов, курсы акций, физические константы) цифра 1 встречается на первом месте в 30% случаев, а 9 - всего в 4.6%.
Это не интуитивно, ведь казалось бы, все цифры от 1 до 9 должны быть равноправны. Однако закон работает для чисел, которые распределены по нескольким порядкам величин. Вероятность первой цифры d равна
P(d) = log₁₀(1 + 1/d)
Где это используют ?
1. Налоговая проверка (выявление поддельных отчетов)
2. Аудит финансовых документов
3. Анализ научных данных на достоверность
Мошенники, придумывая случайные числа, обычно распределяют первые цифры равномерно - этим и выдают себя.
Попробуйте убедиться в этом самостоятельно: возьмите номера домов на своей улице или цены в каталоге. Цифра 1 будет лидировать!
#Статистика #ЗаконБенфорда #АнализДанных #Математика
@mathgim
В реальных наборах чисел (население городов, курсы акций, физические константы) цифра 1 встречается на первом месте в 30% случаев, а 9 - всего в 4.6%.
Это не интуитивно, ведь казалось бы, все цифры от 1 до 9 должны быть равноправны. Однако закон работает для чисел, которые распределены по нескольким порядкам величин. Вероятность первой цифры d равна
P(d) = log₁₀(1 + 1/d)
Где это используют ?
1. Налоговая проверка (выявление поддельных отчетов)
2. Аудит финансовых документов
3. Анализ научных данных на достоверность
Мошенники, придумывая случайные числа, обычно распределяют первые цифры равномерно - этим и выдают себя.
Попробуйте убедиться в этом самостоятельно: возьмите номера домов на своей улице или цены в каталоге. Цифра 1 будет лидировать!
#Статистика #ЗаконБенфорда #АнализДанных #Математика
@mathgim
👍4❤1🔥1
Последовательность «Посмотри-и-скажи»
Читаем вслух цифры предыдущего числа:
1 → «одна единица» → 11
11 → «две единицы» → 21
21 → «одна двойка, одна единица» → 1211
1211 → «одна единица, одна двойка, две единицы» → 111221
И так рождается последовательность:
1, 11, 21, 1 211, 111 221, 312 211, 13 112 221, 1 113 213 211...
Практически с любого начального числа она будет неограниченно увеличиваться. Лишь одно число нарушает это правило — 22, которое бесконечно повторяется: 22, 22, 22...
Если измерить длину каждого следующего числа, окажется, что в среднем она увеличивается на 30% за шаг. Формально, если обозначить Lₙ длину n-го члена, то существует предел:
lim (Lₙ₊₁ / Lₙ) = λ = 1.303577269034...
Это число известно как постоянная Конвея — уникальная математическая константа, определяющая скорость роста последовательности. Она возникает как единственный положительный корень многочлена 71-й степени и остаётся неизменной независимо от выбора начального числа (кроме 22).
#Математика #Последовательности #КонстантаКонвея
@mathgim
Читаем вслух цифры предыдущего числа:
1 → «одна единица» → 11
11 → «две единицы» → 21
21 → «одна двойка, одна единица» → 1211
1211 → «одна единица, одна двойка, две единицы» → 111221
И так рождается последовательность:
1, 11, 21, 1 211, 111 221, 312 211, 13 112 221, 1 113 213 211...
Практически с любого начального числа она будет неограниченно увеличиваться. Лишь одно число нарушает это правило — 22, которое бесконечно повторяется: 22, 22, 22...
Если измерить длину каждого следующего числа, окажется, что в среднем она увеличивается на 30% за шаг. Формально, если обозначить Lₙ длину n-го члена, то существует предел:
lim (Lₙ₊₁ / Lₙ) = λ = 1.303577269034...
Это число известно как постоянная Конвея — уникальная математическая константа, определяющая скорость роста последовательности. Она возникает как единственный положительный корень многочлена 71-й степени и остаётся неизменной независимо от выбора начального числа (кроме 22).
#Математика #Последовательности #КонстантаКонвея
@mathgim
🔥6👍4
Проблема Брокара
В 1876 году Анри Брокар сформулировал изящную задачу: найти целые решения уравнения: n! + 1 = m²
Известными решениями являются (числа Брауна):
4! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²
5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²
7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 = 71²
Открытые вопросы:
1. Существуют ли другие решения, кроме n = 4, 5, 7 ?
2. Конечно или бесконечно число решений ?
На сегодняшний день проверено, что других решений нет для n < 10⁹. Проблема остается открытой и связана с глубокими вопросами диофантовых уравнений. Пал Эрдёш считал, что других решений не существует, но строгого доказательства до сих пор нет.
#ТеорияЧисел #ДиофантовыУравнения
@mathgim
В 1876 году Анри Брокар сформулировал изящную задачу: найти целые решения уравнения: n! + 1 = m²
Известными решениями являются (числа Брауна):
4! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²
5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²
7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 = 71²
Открытые вопросы:
1. Существуют ли другие решения, кроме n = 4, 5, 7 ?
2. Конечно или бесконечно число решений ?
На сегодняшний день проверено, что других решений нет для n < 10⁹. Проблема остается открытой и связана с глубокими вопросами диофантовых уравнений. Пал Эрдёш считал, что других решений не существует, но строгого доказательства до сих пор нет.
#ТеорияЧисел #ДиофантовыУравнения
@mathgim
👍8
MathgiM
👩🎓 «Месье Леблан»: женщина-математик, обманувшая Академию В 18-19 веках двери Парижской Политехнической школы были наглухо закрыты для женщин. Но для Софи Жермен это не стало преградой. Она брала лекции из школы и присылала блестящие домашние работы под…
Числа Софи Жермен
Простое число p называется числом Софи Жермен, если 2p + 1 тоже простое.
Примеры: 2, 3, 5, 11, 23, 29...
Число 2p+1, связанное с простым числом Софи Жермен, называется безопасным простым числом. Предполагается, что количество таких чисел бесконечно, но это открытый вопрос.
Число Софи Жермен находят широкое применение в криптографии.
#ТеорияЧисел #ПростыеЧисла
@mathgim
Простое число p называется числом Софи Жермен, если 2p + 1 тоже простое.
Примеры: 2, 3, 5, 11, 23, 29...
Число 2p+1, связанное с простым числом Софи Жермен, называется безопасным простым числом. Предполагается, что количество таких чисел бесконечно, но это открытый вопрос.
Число Софи Жермен находят широкое применение в криптографии.
#ТеорияЧисел #ПростыеЧисла
@mathgim
👍10
Как найти площадь сложного многоугольника без интегралов ?
Представьте, что у вас есть многоугольник, все вершины которого лежат в узлах клетчатой бумаги. Можно ли быстро найти его площадь ?
Формула Пика дает элегантный ответ:
S = В + Г/2 − 1, где:
В — количество узлов внутри многоугольника;
Г — количество узлов на границе.
Пример: прямоугольник 3×4 имеет В=6, Г=14 → S=6+7−1=12 (что совпадает с 3×4=12)
Эта формула — прекрасный пример связи комбинаторики и геометрии!
#Геометрия #Комбинаторика
@mathgim
Представьте, что у вас есть многоугольник, все вершины которого лежат в узлах клетчатой бумаги. Можно ли быстро найти его площадь ?
Формула Пика дает элегантный ответ:
S = В + Г/2 − 1, где:
В — количество узлов внутри многоугольника;
Г — количество узлов на границе.
Пример: прямоугольник 3×4 имеет В=6, Г=14 → S=6+7−1=12 (что совпадает с 3×4=12)
Эта формула — прекрасный пример связи комбинаторики и геометрии!
#Геометрия #Комбинаторика
@mathgim
🔥13
Теорема Вивиани
Для любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма расстояний до его сторон постоянна и равна высоте треугольника!
Доказательство через площади:
Площадь треугольника = сумме площадей трех маленьких треугольников
S = (a·m + a·n + a·l) / 2 = a·(m+n+l) / 2
Но также S = a·h/2
Значит m+n+l = h
Элегантная геометрическая теорема, которая удивляет своей простотой и красотой!
#Геометрия #Треугольник
@mathgim
Для любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма расстояний до его сторон постоянна и равна высоте треугольника!
Доказательство через площади:
Площадь треугольника = сумме площадей трех маленьких треугольников
S = (a·m + a·n + a·l) / 2 = a·(m+n+l) / 2
Но также S = a·h/2
Значит m+n+l = h
Элегантная геометрическая теорема, которая удивляет своей простотой и красотой!
#Геометрия #Треугольник
@mathgim
👍9🔥3❤🔥1
Скатерть Улама
В 1963 году математик Станислав Улам на скучной лекции начал от нечего делать записывать натуральные числа по спирали. Неожиданно он заметил нечто удивительное — простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных линий, образуя загадочные узоры. В последствии было обнаружено, что числа на диагоналях описываются квадратичными многочленами.
Давайте представим, что в центре спирали (в ячейке 1) находится начало координат (0,0). Тогда каждому числу на спирали можно сопоставить его координаты (x, y).
Оказывается, что числа, лежащие на одной диагональной линии, можно описать общей формулой. Поскольку мы движемся по квадратичной траектории (спираль закручивается по закону n²), то и функция, генерирующая числа на диагоналях, тоже будет квадратичной.
В 1963 году математик Станислав Улам на скучной лекции начал от нечего делать записывать натуральные числа по спирали. Неожиданно он заметил нечто удивительное — простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных линий, образуя загадочные узоры. В последствии было обнаружено, что числа на диагоналях описываются квадратичными многочленами.
Давайте представим, что в центре спирали (в ячейке 1) находится начало координат (0,0). Тогда каждому числу на спирали можно сопоставить его координаты (x, y).
Оказывается, что числа, лежащие на одной диагональной линии, можно описать общей формулой. Поскольку мы движемся по квадратичной траектории (спираль закручивается по закону n²), то и функция, генерирующая числа на диагоналях, тоже будет квадратичной.
🔥10
Возьмем одну из самых ярких диагоналей, идущую из центра влево-вверх. На ней лежат числа: 5, 17, 37, 65... Найдем формулу. Предположим, она имеет вид:
f(n) = an² + bn + c
Подставим значения:
Для n=1: a + b + c = 5
Для n=2: 4a + 2b + c = 17
Для n=3: 9a + 3b + c = 37
Решив эту систему, получим: a=4, b=0, c=1.
Таким образом, наша диагональ описывается формулой: f(n) = 4n² + 1
И это работает! Проверим для n=4: 4*16 + 1 = 65 — что и является следующим числом в последовательности.
Разные диагонали соответствуют разным квадратичным многочленам, например:
4n² - 2n + 1 — дает другую диагональ с простыми числами: 3, 13, 31...
n² - n + 41 — знаменитая формула Эйлера, которая генерирует 40 простых чисел подряд!
Даже в кажущемся хаосе есть скрытая структура и возможно, мы просто еще не нашли правильный угол зрения.
#ТеорияЧисел #ПростыеЧисла
@mathgim
f(n) = an² + bn + c
Подставим значения:
Для n=1: a + b + c = 5
Для n=2: 4a + 2b + c = 17
Для n=3: 9a + 3b + c = 37
Решив эту систему, получим: a=4, b=0, c=1.
Таким образом, наша диагональ описывается формулой: f(n) = 4n² + 1
И это работает! Проверим для n=4: 4*16 + 1 = 65 — что и является следующим числом в последовательности.
Разные диагонали соответствуют разным квадратичным многочленам, например:
4n² - 2n + 1 — дает другую диагональ с простыми числами: 3, 13, 31...
n² - n + 41 — знаменитая формула Эйлера, которая генерирует 40 простых чисел подряд!
Даже в кажущемся хаосе есть скрытая структура и возможно, мы просто еще не нашли правильный угол зрения.
#ТеорияЧисел #ПростыеЧисла
@mathgim
🔥9❤1
📌 Признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, нужно:
1. Отбросить у числа последнюю цифру.
2. От оставшегося числа вычесть удвоенную отброшенную цифру.
3. Если полученный результат делится на 7, то и исходное число делится на 7.
Пример: проверим число 161
16 - 2×1 = 14 (делится на 7) => 161 делится на 7
Это правило основано на свойствах десятичной системы счисления, а также на фундаментальных свойствах делимости и взаимно простых чисел.
#ТеорияЧисел #Делимость #Математика
@mathgim
Чтобы проверить, делится ли число на 7, нужно:
1. Отбросить у числа последнюю цифру.
2. От оставшегося числа вычесть удвоенную отброшенную цифру.
3. Если полученный результат делится на 7, то и исходное число делится на 7.
Пример: проверим число 161
16 - 2×1 = 14 (делится на 7) => 161 делится на 7
Это правило основано на свойствах десятичной системы счисления, а также на фундаментальных свойствах делимости и взаимно простых чисел.
#ТеорияЧисел #Делимость #Математика
@mathgim
👍8
Ваше мнение важно!
Друзья, на канале уже накопилось изрядное количество постов! И стало безумно интересно, какие из них нашли самый живой отклик у вас.
Напишите или прикрепите ссылку на тот ОДИН (или несколько) пост/ов с этого канала, который:
— удивил вас больше всего;
— заставил сказать «Вау!»;
— показался вам самым элегантным, красивым или гениальным;
— заставил углубиться в тему поглубже;
— просто запомнился вам сильнее других.
Ваши ответы помогут понять, в каком направлении двигаться дальше, чтобы создавать еще больше крутого контента! 🙏
#обратнаясвязь
@mathgim
Друзья, на канале уже накопилось изрядное количество постов! И стало безумно интересно, какие из них нашли самый живой отклик у вас.
Напишите или прикрепите ссылку на тот ОДИН (или несколько) пост/ов с этого канала, который:
— удивил вас больше всего;
— заставил сказать «Вау!»;
— показался вам самым элегантным, красивым или гениальным;
— заставил углубиться в тему поглубже;
— просто запомнился вам сильнее других.
Ваши ответы помогут понять, в каком направлении двигаться дальше, чтобы создавать еще больше крутого контента! 🙏
#обратнаясвязь
@mathgim
👍12
Спираль Феодора Киренского
Задолго до появления алгебры древнегреческие математики решали задачи геометрически. Феодор Киренский (учитель Платона) для извлечения квадратных корней использовал изящную конструкцию — спираль корней.
Как это работает ?
1. Строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Гипотенуза = √2.
2. К полученной гипотенузе пристраиваем новый катет длиной 1. Новая гипотенуза = √3.
3. Повторяем процесс, каждый раз добавляя катет длиной 1.
В результате получается спираль, где каждый следующий отрезок имеет длину √n. Таким образом, Феодор мог геометрически построить отрезки, равные √2, √3, √4, √5 и так далее.
Эта спираль является наглядной демонстрацией связи алгебры и геометрии. Она показывает, как древние мыслили категориями длин и площадей, а не символов и уравнений.
#Геометрия #ИсторияМатематики
@mathgim
Задолго до появления алгебры древнегреческие математики решали задачи геометрически. Феодор Киренский (учитель Платона) для извлечения квадратных корней использовал изящную конструкцию — спираль корней.
Как это работает ?
1. Строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Гипотенуза = √2.
2. К полученной гипотенузе пристраиваем новый катет длиной 1. Новая гипотенуза = √3.
3. Повторяем процесс, каждый раз добавляя катет длиной 1.
В результате получается спираль, где каждый следующий отрезок имеет длину √n. Таким образом, Феодор мог геометрически построить отрезки, равные √2, √3, √4, √5 и так далее.
Эта спираль является наглядной демонстрацией связи алгебры и геометрии. Она показывает, как древние мыслили категориями длин и площадей, а не символов и уравнений.
#Геометрия #ИсторияМатематики
@mathgim
🔥11👍3