🧮 Решето Эратосфена: как найти все простые числа ?

Древнегреческий математик Эратосфен Киренский придумал элегантный алгоритм для поиска всех простых чисел до заданного предела. Его метод актуален и сегодня!

1️⃣ Записываем все числа от 2 до N

2️⃣ Первое простое число — 2. Вычёркиваем все кратные ему (4, 6, 8, ...)

3️⃣ Следующее незачёркнутое число — 3. Теперь вычёркиваем кратные 3 (9, 15, 21, ...)

4️⃣ Повторяем для каждого следующего незачёркнутого числа, пока не дойдём до √N

5️⃣ Оставшиеся числа — простые!

#Математика #Алгоритмы #Программирование #ТеорияЧисел

@mathgim

Задача о брахистохроне

Нужно найти форму кривой, по которой тело скатится из точки A в точку B за минимальное время под действием силы тяжести (трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Интуиция подсказывает, что это прямая (кратчайшее расстояние), но... Нет! Может быть дуга окружности? Тоже нет!

Правильный ответ — циклоида!

Эту задачу решили Якоб Бернулли, Ньютон, Лейбниц и Лопиталь в конце XVII века. Бернулли использовал методы, ставшие основой вариационного исчисления!

#Циклоида #Брахистохрона

@mathgim

Решение

⚖️ Равновесие Нэша

В теории игр равновесие Нэша — это ситуация, в которой ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники сохраняют свои стратегии неизменными.

Представьте, что вы и ваш друг выбираете, пойти в кино или в кафе:

1. Если вы оба идёте в кино — вам хорошо.
2. Если оба в кафе — тоже нормально.
3. Но если один выбрал кино, а другой — кафе, оба останутся недовольны.

Равновесие Нэша здесь — это когда вы оба выбираете одно и то же место, и никому не выгодно менять решение в одиночку. Также равновесие Нэша встречается:

- в экономике (ценообразование компаний);
- в опросах (стратегии голосования);
- в жизни (выбор маршрута в пробке).

Например, в дилемме заключенного, равновесие Нэша — оба предают, хотя молчать выгоднее! Потому что ни у кого нет стимула молчать, если другой может предать.

Таким образом, равновесие Нэша не всегда оптимально для всех, но оно устойчиво — никто не хочет первым отклоняться от своей стратегии.

А вы знали, что Джон Нэш получил Нобелевскую премию за этот концепт? Его жизнь даже показали в фильме «Игры разума»!

#ТеорияИгр #Математика #Экономика #Нэш

@mathgim

Докажите, что если A и B — квадратные матрицы одного порядка, то имеют место следующие формулы:

Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника, тогда длина биссектрисы проведенной из прямого угла к гипотенузе равна L

#геометрия #треугольник

@mathgim

Интегралы Борвейна

Знаете ли вы, что существуют интегралы, которые кажутся простыми, но дают неожиданные результаты? Один из таких примеров — интегралы Борвейна:

∞
∫ sin(x) / x dx = π / 2
0

Но что, если взять произведение таких функций? Например:

∞
∫ [sin(x) / x] ⋅ [sin(x/3)/(x/3)] dx = π / 2
0

И даже так:

∞
∫ [sin(x) / x] ⋅ [sin(x/3)/(x/3)] ⋅ [sin(x/5)/(x/5)] dx = π / 2
0

Но! Если продолжить этот паттерн до sin(x/15)/(x/15), то интеграл начинает ломаться и становится меньше π/2

Этот феномен связан с преобразованием Фурье и свойствами ступенчатых функций. Интеграл сохраняет значение π/2, пока коэффициенты подобраны так, что их сумма меньше π, но как только она превышает π — результат меняется!

Интегралы Борвейна — это наглядный пример, что красивые закономерности внезапно перестают работать. Джонатан Борвейн, зная, что закономерность нарушается на восьмом элементе, написал в службу поддержки программного пакета Maple заявку о «баге». У разработчика Жака Каретта заняло трое суток понять, что это не ошибка.

#Математика #Интегралы #Борвейн #Факты #Наука

@mathgim

🥪 Теорема о бутерброде

Можно ли одним разрезом ножа разделить бутерброд пополам так, чтобы и хлеб, и ветчина, и сыр были разрезаны ровно на две равные части? Оказывается, да — и это гарантирует теорема Стоуна — Тьюки:

Для любых n измеримых объектов в ℝⁿ существует гиперплоскость, которая делит каждый из них ровно пополам по объёму.

Это также работает в робототехники (оптимальное разделение пространства), экономике (справедливое разделение ресурсов), компьютерных алгоритмах (распределение данных).

В случае если слоев больше чем три, то теорема все равно работает! Главное, чтобы размерность совпадала с количеством ингредиентов.

Смогли бы на глаз разрезать бутерброд так идеально?)

#Математика #Гиперплоскость #Теоремы

@mathgim

Найдите неопределенный интеграл

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

🌍🎨 Как раскрасить любую карту без конфликтов?

Представьте, что вам нужно раскрасить карту так, чтобы никакие две соседние страны не были одного цвета. Сколько красок вам понадобится?

Теорема о четырех красках утверждает, что хватит всего 4 для любой карты, даже самой сложной (с сотнями соседей у одной страны)!

Впервые гипотезу выдвинули в 1852 году, но доказали лишь в 1976 с помощью компьютера! Это было одно из первых компьютерных доказательств в математике.

5 цветов всегда хватает (это доказали ещё в XIX веке).
3 цвета — недостаточно (есть контрпримеры).
4 цвета — идеальный минимум!

Если карта нарисована на бублике (тору), то может понадобиться до 7 цветов!

#Математика #Факты #Теорема #Графы

@mathgim

Теорема об ограниченной последовательности, имеющей предел

Если ∃ lim xₙ = a, при n → ∞, то последовательность xₙ — ограниченная.

Доказательство:

∀ε > 0 (возьмем ε = 1) ∃ N = N(ε): ∀n > N |xₙ - a| < 1
-1 < xₙ - a < 1
a-1 < xₙ < a+1 => xₙ — ограниченная

#теорема #матанализ

@mathgim

Теорема об отделимости от нуля

Пусть ∃ lim xₙ = a ≠ 0, при n → ∞, тогда ∃N: ∀n > N |xₙ| > |a| / 2

Доказательство:

1. Пусть a > 0
∀ε > 0 (возьмем ε = a / 2) ∃ N : ∀n > N |xₙ - a| < a / 2
-a / 2 < xₙ - a < a / 2
a / 2 < xₙ < (3a) / 2
a / 2 < xₙ

2. Пусть a < 0
∀ε > 0 (возьмем ε = -a / 2) ∃ N : ∀n > N |xₙ - a| < -a / 2
a / 2 < xₙ - a < -a / 2
(3a) / 2 < xₙ < a / 2
xₙ < a / 2

Объединяя результаты первых 2-х пунктов получаем, что |xₙ| > |a| / 2

#теорема #матанализ

@mathgim

Решите дифференциальное уравнение

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Теорема о предельном переходе в неравенстве

Если ∃ lim xₙ = a, ∃ lim yₙ = b, при n → ∞, и ∀n > N xₙ ≤ yₙ , то a ≤ b

Доказательство:

1. Методом от противного. Пусть a > b, тогда
∀ε > 0 (возьмем ε = (a-b) / 2) ∃ N₁ : ∀n > N₁ |xₙ - a| < (a-b) / 2
∀ε > 0 (возьмем ε = (a-b) / 2) ∃ N₂ : ∀n > N₂ |yₙ - b| < (a-b) / 2

2. Распишем оба неравенства
(b-a) / 2 < xₙ - a < (a-b) / 2
(a+b) / 2 < xₙ < (3a-b) / 2
(a+b) / 2 < xₙ

(b-a) / 2 < yₙ - b < (a-b) / 2
(3b-a) / 2 < yₙ < (a+b) / 2
yₙ < (a+b) / 2

Если n > max(N, N₁, N₂), то (a+b) / 2 < xₙ ≤ yₙ < (a+b) / 2
Противоречие.

#теорема #матанализ

@mathgim

Решите уравнение

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Теорема о промежуточной последовательности (или о двух милиционерах)

Пусть ∀n > N xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ и ∃ lim xₙ = lim zₙ = a, при n → ∞, тогда ∃ lim yₙ = a, n → ∞

Доказательство:

∀ε > 0 ∃ N₁ = N₁(ε) : ∀n > N₁ |xₙ - a| < ε
-ε < xₙ - a < ε
a-ε < xₙ < a+ε
a-ε < xₙ

∀ε > 0 ∃ N₂ = N₂(ε) : ∀n > N₂ |zₙ - a| < ε
-ε < zₙ - a < ε
a-ε < zₙ < a+ε
zₙ < a+ε

Если n > max(N, N₁, N₂), тогда

a-ε < xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ < a+ε
a-ε < yₙ < a+ε
-ε < yₙ - a < ε
|yₙ - a| < ε

ч.т.д

#теорема #матанализ

@mathgim

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонно ограниченной последовательности

Если xₙ монотонно возрастает и ограничена сверху, то ∃ lim xₙ = a

Если xₙ монотонно убывает и ограничена снизу, то ∃ lim xₙ = b

#теорема #матанализ

@mathgim

🦔 Теорема о причёсывании ежа

Представьте, что вы пытаетесь аккуратно причесать колючки ежа так, чтобы все они легли в одном направлении. Оказывается, это невозможно ! Где-то обязательно останется вихор или торчащая иголка.

Примеры из жизни:

1. Ветер на Земле – всегда есть точка, где нет ветра (например, в центре циклона).
2. Волосы на голове – если они короткие и растут равномерно, обязательно будет вихор или пробор.
3. Магнитные поля – у любого магнита есть как минимум два полюса (северный и южный).

С точки зрения математики это означает, что на сфере (например, на поверхности ежа или Земли) не существует непрерывного векторного поля без нулей. Данная теорема помогает учёным изучать форму объектов, предсказывать погоду и даже работать с компьютерной графикой!

#Топология #Математика #Теоремы

@mathgim

🔢 Число обусловленности матрицы

Число обусловленности матрицы — это ключевая характеристика, которая показывает, насколько чувствительно решение СЛАУ Ax=B к малым изменениям в входных данных.

Для матрицы A число обусловленности определяется как:

κ(A)=∥A∥⋅∥A⁻¹∥

где ∥⋅∥ — выбранная матричная норма.

1. Если κ(A)≈1, то матрица хорошо обусловлена — малые изменения в данных слабо влияют на решение.
2. Если κ(A)≫1, то матрица плохо обусловлена — даже небольшие погрешности могут сильно исказить результат.

Где это нужно ?
В численных методах (решение СЛАУ, обращение матриц).
В машинном обучении (анализ устойчивости алгоритмов).
В задачах оптимизации и обработке данных.

#ЛинейнаяАлгебра #ЧисленныеМетоды #Матрицы

@mathgim