Множество Q не является полным в следующем смысле: существуют такие сечения Q, что ни в нижнем классе нет наибольшего элемента, ни в верхнем нет наименьшего элемента. Таким образом все сечения множества Q делятся на два класса:

1. В нижнем классе имеется наибольший элемент либо в верхнем наименьший => рациональные числа
2. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем нет наименьшего => иррациональные числа

При такой интерпретации действительное число — это сечение множества рациональных чисел. При этом любое из сечений можно отождествить с десятичной дробью.

Теорема Дедекинда

Для всякого сечения A/B множества R найдется элемент a ∈ R, производящий это сечение, причем если a ∈ A, то является наибольшим элементом в A, а если a ∈ B, он будет наименьшим в этом множестве.

Данная теорема строго определяет R (обладает свойством полноты), устраняя "пробелы" в Q. Без неё не было бы матанализа в современном виде!

#дедекинд #теорема

@mathgim

Ограниченные множества

Множество A ⊆ R ограничено сверху, если ∃ c ∈ R : ∀x ∈ A => x ≤ с. При этом "c" называют верхней границей (гранью) множества A.

Множество A ⊆ R ограничено снизу, если ∃ c ∈ R : ∀x ∈ A => x ≥ с. При этом "c" называют нижней границей (гранью) множества A.

Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью множества и обозначается sup A = M

Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью множества и обозначается inf A = m

#определение

@mathgim

Теорема Больцано (о существовании точных граней)

Всякое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. Всякое ограниченное снизу множество имеет имеет точную нижнюю грань.

Данная теорема является следствием полноты множества действительных чисел.

#больцано #теорема

@mathgim

Теорема (принцип вложенных отрезков)

Пусть имеется система вложенных отрезков

Δ₁ ⊇ Δ₂ ⊇ ... ⊇ Δₙ , где Δₙ = [aₙ ; bₙ], aₙ ∈ R, bₙ ∈ R

тогда найдется с ∈ R такое, что с ∈ [aₙ ; bₙ] для всех натуральных значений n.

Доказательство:

Рассмотрим множества:
A ={a₁, a₂, a₃, ..}
B ={b₁, b₂, b₃, ..}
Из неравенств a₁ ≤ aₙ < bₙ ≤ b₁ верных для всех натуральных n следует, что множество A ограничено сверху, и значит имеет точную верхнюю грань sup A = a. Аналогично множество B имеет точную нижнюю грань inf B = b. Докажем, что a ≤ b и тогда в качестве c можно взять (a+b) / 2, поскольку для любого n имеем:
aₙ ≤ a ≤(a+b) / 2≤ b ≤ bₙ

Предположим обратное (a > b) и возьмем ε = (a-b) / 2 > 0, тогда среднее значение между a и b, равное (a+b) / 2 = a-ε = b+ε, не будет являться ни нижней гранью для B, ни верхней гранью для A. Следовательно, найдутся такие элементы aₗ ∈ A и bₘ ∈ B, что:
bₘ < (a+b) / 2 < aₗ
Это противоречие, так как, если например m < l, то
aₘ ≤ aₗ < bₗ ≤ bₘ

Таким образом, принцип вложенных отрезков является следствие полноты множества R.

#теорема #доказательство

@mathgim

Решите уравнение

x⁶+x⁵+3x⁴+2x³+3x²+x+1=0

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Решите уравнение

x⁶+6x⁵+24x⁴+56x³+94x²+92x+52=0

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Гений, которого не хотели замечать

Эмми Нётер — одна из самых влиятельных женщин в истории науки. Её работы изменили алгебру, физику и теорию относительности, но признание пришло к ней не сразу.

Родилась в 1882 году в Германии, в семье математика. Столкнулась с запретом на обучение женщин в университетах, но добилась права посещать лекции. Стала первой женщиной-доктором наук в математике в Германии (1907).

Главные открытия:

✅ Теорема Нётер — связывает законы сохранения (энергии, импульса) с симметриями в физике. Без неё не было бы современной квантовой механики!
✅ Абстрактная алгебра — её работы по кольцам, идеалам и модулям легли в основу современной алгебры.
✅ Влияние на теорию относительности — помогла Эйнштейну строго обосновать законы сохранения в общей теории относительности.

Несмотря на гениальность, Нётер сталкивалась с дискриминацией:
➖ Ей не платили зарплату за преподавание, пока не помог Давид Гильберт.
➖ Её лекции записывали под чужим именем.
➖ Бежала от нацистов в США, но вскоре умерла после операции (1935).

Сегодня её имя носят теоремы, астероиды и даже лунные кратеры. Она доказала, что гениальность не зависит от пола.

#ИсторияНауки #ЭммиНётер #ТеоремаНётер

@mathgim

🧮 Решето Эратосфена: как найти все простые числа ?

Древнегреческий математик Эратосфен Киренский придумал элегантный алгоритм для поиска всех простых чисел до заданного предела. Его метод актуален и сегодня!

1️⃣ Записываем все числа от 2 до N

2️⃣ Первое простое число — 2. Вычёркиваем все кратные ему (4, 6, 8, ...)

3️⃣ Следующее незачёркнутое число — 3. Теперь вычёркиваем кратные 3 (9, 15, 21, ...)

4️⃣ Повторяем для каждого следующего незачёркнутого числа, пока не дойдём до √N

5️⃣ Оставшиеся числа — простые!

#Математика #Алгоритмы #Программирование #ТеорияЧисел

@mathgim

Задача о брахистохроне

Нужно найти форму кривой, по которой тело скатится из точки A в точку B за минимальное время под действием силы тяжести (трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Интуиция подсказывает, что это прямая (кратчайшее расстояние), но... Нет! Может быть дуга окружности? Тоже нет!

Правильный ответ — циклоида!

Эту задачу решили Якоб Бернулли, Ньютон, Лейбниц и Лопиталь в конце XVII века. Бернулли использовал методы, ставшие основой вариационного исчисления!

#Циклоида #Брахистохрона

@mathgim

Решение

⚖️ Равновесие Нэша

В теории игр равновесие Нэша — это ситуация, в которой ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники сохраняют свои стратегии неизменными.

Представьте, что вы и ваш друг выбираете, пойти в кино или в кафе:

1. Если вы оба идёте в кино — вам хорошо.
2. Если оба в кафе — тоже нормально.
3. Но если один выбрал кино, а другой — кафе, оба останутся недовольны.

Равновесие Нэша здесь — это когда вы оба выбираете одно и то же место, и никому не выгодно менять решение в одиночку. Также равновесие Нэша встречается:

- в экономике (ценообразование компаний);
- в опросах (стратегии голосования);
- в жизни (выбор маршрута в пробке).

Например, в дилемме заключенного, равновесие Нэша — оба предают, хотя молчать выгоднее! Потому что ни у кого нет стимула молчать, если другой может предать.

Таким образом, равновесие Нэша не всегда оптимально для всех, но оно устойчиво — никто не хочет первым отклоняться от своей стратегии.

А вы знали, что Джон Нэш получил Нобелевскую премию за этот концепт? Его жизнь даже показали в фильме «Игры разума»!

#ТеорияИгр #Математика #Экономика #Нэш

@mathgim

Докажите, что если A и B — квадратные матрицы одного порядка, то имеют место следующие формулы:

Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника, тогда длина биссектрисы проведенной из прямого угла к гипотенузе равна L

#геометрия #треугольник

@mathgim

Интегралы Борвейна

Знаете ли вы, что существуют интегралы, которые кажутся простыми, но дают неожиданные результаты? Один из таких примеров — интегралы Борвейна:

∞
∫ sin(x) / x dx = π / 2
0

Но что, если взять произведение таких функций? Например:

∞
∫ [sin(x) / x] ⋅ [sin(x/3)/(x/3)] dx = π / 2
0

И даже так:

∞
∫ [sin(x) / x] ⋅ [sin(x/3)/(x/3)] ⋅ [sin(x/5)/(x/5)] dx = π / 2
0

Но! Если продолжить этот паттерн до sin(x/15)/(x/15), то интеграл начинает ломаться и становится меньше π/2

Этот феномен связан с преобразованием Фурье и свойствами ступенчатых функций. Интеграл сохраняет значение π/2, пока коэффициенты подобраны так, что их сумма меньше π, но как только она превышает π — результат меняется!

Интегралы Борвейна — это наглядный пример, что красивые закономерности внезапно перестают работать. Джонатан Борвейн, зная, что закономерность нарушается на восьмом элементе, написал в службу поддержки программного пакета Maple заявку о «баге». У разработчика Жака Каретта заняло трое суток понять, что это не ошибка.

#Математика #Интегралы #Борвейн #Факты #Наука

@mathgim

🥪 Теорема о бутерброде

Можно ли одним разрезом ножа разделить бутерброд пополам так, чтобы и хлеб, и ветчина, и сыр были разрезаны ровно на две равные части? Оказывается, да — и это гарантирует теорема Стоуна — Тьюки:

Для любых n измеримых объектов в ℝⁿ существует гиперплоскость, которая делит каждый из них ровно пополам по объёму.

Это также работает в робототехники (оптимальное разделение пространства), экономике (справедливое разделение ресурсов), компьютерных алгоритмах (распределение данных).

В случае если слоев больше чем три, то теорема все равно работает! Главное, чтобы размерность совпадала с количеством ингредиентов.

Смогли бы на глаз разрезать бутерброд так идеально?)

#Математика #Гиперплоскость #Теоремы

@mathgim

Найдите неопределенный интеграл

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim