Решение

Теорема об интегрировании оригинала

#ОперационноеИсчисление
#ПреобразованиеЛапласа

@mathgim

Теорема об интегрировании изображения

#ОперационноеИсчисление
#ПреобразованиеЛапласа

@mathgim

Найдите изображения функций с помощью теорем об интегрировании оригинала и интегрировании изображения

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Найдите изображение функции

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Свёртка функций

Свёрткой функций f₁(t) и f₂(t) называется функция 👆

Обозначение: f₁ * f₂ = (f₁ * f₂)(t)

#определение

@mathgim

Теорема Бореля (об умножении изображений)

Изображение свёртки двух оригиналов равно произведению изображений свёртываемых оригиналов.

С помощью данной теоремы легко находить оригиналы изображений вида F₁(p) • F₂(p)

#ОперационноеИсчисление
#ПреобразованиеЛапласа

@mathgim

Найдите оригинал изображения

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Найдите оригинал изображения

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

Числовые ряды с комплексными членами

Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов и признаки сходимости для комплексных рядов совпадают с вещественным случаем.

Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной σₙ и мнимой τₙ частей.

#КомплексныйАнализ #Ряды

@mathgim

Исследовать ряд на сходимость

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Исследовать ряд на сходимость

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Докажите, что для кубического уравнения ax³+bx²+cx+d=0 выполняется ac³-b³d=0, если один из корней равен среднему геометрическому двух других.

Решение — по требованию

#задачи

@mathgim

День приближенного числа π

Помимо основного праздника (14 марта), сегодня также отмечается праздник приближения известной всеми математической константы.

Если рассматривать сегодняшнюю дату 22/7 как дробь, то ее значение будет является более точным приближением чем 3.14, при этом формат записи даты ДД/ММ распространен в мире гораздо шире чем ММ/ДД или MM.ДД положенный в основу выбора даты 14 марта.

#ДеньПи #ЧислоПи

@mathgim

Дедекиндово сечение

Сечением множества Q называется пара множеств A и B такая, что:

1. A ∪ B = Q
2. A ∩ B = ∅
3. ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x < y

при этом A называется нижним (левым) классом, а B — верхним (правым) классом.

Обозначение: A/B

Пример:
Пусть A={x ∈ Q | x < 1} и B={y ∈ Q | y ≥ 1}, тогда A/B — сечение.

#определение

@mathgim

Множество Q не является полным в следующем смысле: существуют такие сечения Q, что ни в нижнем классе нет наибольшего элемента, ни в верхнем нет наименьшего элемента. Таким образом все сечения множества Q делятся на два класса:

1. В нижнем классе имеется наибольший элемент либо в верхнем наименьший => рациональные числа
2. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем нет наименьшего => иррациональные числа

При такой интерпретации действительное число — это сечение множества рациональных чисел. При этом любое из сечений можно отождествить с десятичной дробью.

Теорема Дедекинда

Для всякого сечения A/B множества R найдется элемент a ∈ R, производящий это сечение, причем если a ∈ A, то является наибольшим элементом в A, а если a ∈ B, он будет наименьшим в этом множестве.

Данная теорема строго определяет R (обладает свойством полноты), устраняя "пробелы" в Q. Без неё не было бы матанализа в современном виде!

#дедекинд #теорема

@mathgim

Ограниченные множества

Множество A ⊆ R ограничено сверху, если ∃ c ∈ R : ∀x ∈ A => x ≤ с. При этом "c" называют верхней границей (гранью) множества A.

Множество A ⊆ R ограничено снизу, если ∃ c ∈ R : ∀x ∈ A => x ≥ с. При этом "c" называют нижней границей (гранью) множества A.

Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью множества и обозначается sup A = M

Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью множества и обозначается inf A = m

#определение

@mathgim