🌴 Тропическая алгебра
Тропическая алгебра — это экзотическая математическая структура, в которой привычные операции заменены на другие, но при этом остаются полезными для решения реальных задач.
В данной алгебре операции переопределяются по принципу "Сложение — это минимум или максимум (бывают две версии), а умножение — сложение"
a ⊕ b = min(a, b)
a ⊗ b = a + b
Таким образом получается, что:
- единица для умножения — это 0
a ⊗ 0 = a + 0 = a
- ноль для сложения — это +∞
a ⊕ (+∞) = min(a,+∞) = a
Данная структура в основном применяется в оптимизации и теории графов для поиска кратчайшего пути.
Почему "тропическая" ?
Название появилось в честь бразильского математика Имре Симона, который работал в тропиках.
#ДискретнаяМатематика #ТеорияГрафов #Оптимизация
@mathgim
Тропическая алгебра — это экзотическая математическая структура, в которой привычные операции заменены на другие, но при этом остаются полезными для решения реальных задач.
В данной алгебре операции переопределяются по принципу "Сложение — это минимум или максимум (бывают две версии), а умножение — сложение"
a ⊕ b = min(a, b)
a ⊗ b = a + b
Таким образом получается, что:
- единица для умножения — это 0
a ⊗ 0 = a + 0 = a
- ноль для сложения — это +∞
a ⊕ (+∞) = min(a,+∞) = a
Данная структура в основном применяется в оптимизации и теории графов для поиска кратчайшего пути.
Почему "тропическая" ?
Название появилось в честь бразильского математика Имре Симона, который работал в тропиках.
#ДискретнаяМатематика #ТеорияГрафов #Оптимизация
@mathgim
👍4🔥2
Невозможная фигура
Вы когда-нибудь видели объект, который не должен существовать? Треугольник Пенроуза — одна из самых известных фигур, создающая иллюзию замкнутого контура, нарушающего законы геометрии.
Он кажется объемным, но при детальном рассмотрении оказывается, что его грани не могут соединяться в реальном пространстве. В 3D такой треугольник нельзя построить — он существует только как 2D-проекция, обманывающая наше восприятие.
#Математика #Геометрия #Иллюзии
@mathgim
Вы когда-нибудь видели объект, который не должен существовать? Треугольник Пенроуза — одна из самых известных фигур, создающая иллюзию замкнутого контура, нарушающего законы геометрии.
Он кажется объемным, но при детальном рассмотрении оказывается, что его грани не могут соединяться в реальном пространстве. В 3D такой треугольник нельзя построить — он существует только как 2D-проекция, обманывающая наше восприятие.
#Математика #Геометрия #Иллюзии
@mathgim
❤7👍4🔥1
#44.pdf
23.6 KB
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
@mathgim
@mathgim
🔥5
Почему 0! = 1?
Подход №1: Комбинаторный (первый способ)
Факториал n! — число перестановок n элементов. Сколько перестановок у пустого множества? Ровно 1 (пустая последовательность)!
Подход №2: Комбинаторный (второй способ)
Существует ровно 1 способ получить пустую выборку (k=0) из n элементов, что соответствует биномиальному коэффициенту C_n^0 = n! / [0! × (n - 0)!] = 1 ⇒ 1 / 0! = 1. Работает только при 0! = 1.
Подход №3: Рекуррентная формула
Из определения: n! = n × (n-1)!
Подставим n = 1 : 1! = 1 × 0! ⇒ 1 = 0!
Подход №4: Гамма-функция
В анализе: n! = Γ(n+1), где Γ(1) = 1
Тогда: 0! = Γ(1) = 1
Подход №5: Согласованность с Биномом Ньютона
Разложение: (x+y)^n = sum_{k=0}^n C_n^k⋅ x^k⋅ y^{n-k}
При n = 0 имеем: 1 = С_0^0 ⇒ 1 = 0! / (0! ⋅ 0!)
Работает только при 0! = 1.
#Факториал #Математика
@mathgim
Подход №1: Комбинаторный (первый способ)
Факториал n! — число перестановок n элементов. Сколько перестановок у пустого множества? Ровно 1 (пустая последовательность)!
Подход №2: Комбинаторный (второй способ)
Существует ровно 1 способ получить пустую выборку (k=0) из n элементов, что соответствует биномиальному коэффициенту C_n^0 = n! / [0! × (n - 0)!] = 1 ⇒ 1 / 0! = 1. Работает только при 0! = 1.
Подход №3: Рекуррентная формула
Из определения: n! = n × (n-1)!
Подставим n = 1 : 1! = 1 × 0! ⇒ 1 = 0!
Подход №4: Гамма-функция
В анализе: n! = Γ(n+1), где Γ(1) = 1
Тогда: 0! = Γ(1) = 1
Подход №5: Согласованность с Биномом Ньютона
Разложение: (x+y)^n = sum_{k=0}^n C_n^k⋅ x^k⋅ y^{n-k}
При n = 0 имеем: 1 = С_0^0 ⇒ 1 = 0! / (0! ⋅ 0!)
Работает только при 0! = 1.
#Факториал #Математика
@mathgim
👍7😎2
При каких значениях параметра a прямая y(x) = ax+1 касается кривой f(x)= x^2+4x+2 ?
Решение👇
Запишем уравнение касательной y(x) к графику f(x) в точке t:
y(x) = ax+1 = f(t)+f'(t)(x-t) = t^2+4t+2+(2t+4)(x-t) = t^2+4t+2+2tx-2t^2+4x-4t = (2t+4)x+2-t^2
Получаем систему:
2t+4 = a
2-t^2 = 1
Из второго уравнения получаем: t = {-1,1}
Тогда из первого уравнения получаем: a = {2, 6}
@mathgim
Решение👇
y(x) = ax+1 = f(t)+f'(t)(x-t) = t^2+4t+2+(2t+4)(x-t) = t^2+4t+2+2tx-2t^2+4x-4t = (2t+4)x+2-t^2
Получаем систему:
2t+4 = a
2-t^2 = 1
Из второго уравнения получаем: t = {-1,1}
Тогда из первого уравнения получаем: a = {2, 6}
@mathgim
🔥3
Индийский гений
Сриниваса Рамануджан — один из самых загадочных математиков в истории, который перевернул математику без формального образования. Родившись в бедной индийской семье, он самостоятельно открыл тысячи удивительных формул, многие из которых опередили своё время.
Что он сделал ?
✔ Формулы без доказательств – Рамануджан записывал сложнейшие тождества, словно они ему «диктовались свыше», но часто не мог их обосновать.
✔ Числа и бесконечные ряды – его работы по разбиению чисел до сих пор используются в криптографии и теории струн.
✔ Диалог с Харди – британский математик Г. Х. Харди, получив письмо Рамануджана с диковинными теоремами, сначала решил, что это мистификация… но потом признал его гением.
#Рамануджан #ИсторияМатематики
@mathgim
Сриниваса Рамануджан — один из самых загадочных математиков в истории, который перевернул математику без формального образования. Родившись в бедной индийской семье, он самостоятельно открыл тысячи удивительных формул, многие из которых опередили своё время.
Что он сделал ?
✔ Формулы без доказательств – Рамануджан записывал сложнейшие тождества, словно они ему «диктовались свыше», но часто не мог их обосновать.
✔ Числа и бесконечные ряды – его работы по разбиению чисел до сих пор используются в криптографии и теории струн.
✔ Диалог с Харди – британский математик Г. Х. Харди, получив письмо Рамануджана с диковинными теоремами, сначала решил, что это мистификация… но потом признал его гением.
#Рамануджан #ИсторияМатематики
@mathgim
👍5🔥1
Как 20 лет расчетов числа π обернулись ошибкой
В середине XIX века английский математик-любитель Уильям Шенкс поставил перед собой амбициозную цель — вычислить как можно больше цифр числа π. Долгие 20 лет (с 1853 по 1873 год) он кропотливо производил расчеты вручную, используя лишь логарифмические таблицы и невероятное упорство (в его время не было даже калькуляторов).
Результат был ошеломляющим: Шенкс объявил, что вычислил 707 знаков после запятой! Этот рекорд сделал его знаменитым, а его последовательность цифр даже печатали в учебниках как эталонную.
💥 Шокирующее открытие
Но в 1944 году, когда британские математики проверили вычисления Шенкса на одном из первых механических калькуляторов "Ferguson’s Calculator", обнаружился катастрофический факт: начиная с 528-й цифры все последующие значения были неверными! Оказалось, в своих расчетах Шенкс допустил одну незаметную ошибку — и она исказила целых 180 цифр (с 528-й по 707-ю).
Занимательные факты
✅ Подвиг человеческого терпения и упорства: Шенкс потратил 20 лет, чтобы вычислить π вручную. Его рекорд продержался до эпохи компьютеров!
✅ Прогресс вычислений: сегодня число π известно с точностью до 62 триллионов знаков, а его расчеты используют для тестирования (стресс-тесты) суперкомпьютеров (проверка их мощности). Современные алгоритмы вычисляют π за часы — то, на что у Шенкса ушли десятилетия.
✅ Урок для науки: история напоминает, что даже самые тщательные ручные расчеты требуют перепроверки. Его "неправильные цифры" ещё 50 лет печатали в учебниках, пока ошибку не нашли!
P.S. Как думаете — стоило ли Шенксу 20 лет жизни ради этого? Или это важная веха в истории науки?
#ЧислоПи #ИсторияНауки #НаучныеОшибки
@mathgim
В середине XIX века английский математик-любитель Уильям Шенкс поставил перед собой амбициозную цель — вычислить как можно больше цифр числа π. Долгие 20 лет (с 1853 по 1873 год) он кропотливо производил расчеты вручную, используя лишь логарифмические таблицы и невероятное упорство (в его время не было даже калькуляторов).
Результат был ошеломляющим: Шенкс объявил, что вычислил 707 знаков после запятой! Этот рекорд сделал его знаменитым, а его последовательность цифр даже печатали в учебниках как эталонную.
💥 Шокирующее открытие
Но в 1944 году, когда британские математики проверили вычисления Шенкса на одном из первых механических калькуляторов "Ferguson’s Calculator", обнаружился катастрофический факт: начиная с 528-й цифры все последующие значения были неверными! Оказалось, в своих расчетах Шенкс допустил одну незаметную ошибку — и она исказила целых 180 цифр (с 528-й по 707-ю).
Занимательные факты
✅ Подвиг человеческого терпения и упорства: Шенкс потратил 20 лет, чтобы вычислить π вручную. Его рекорд продержался до эпохи компьютеров!
✅ Прогресс вычислений: сегодня число π известно с точностью до 62 триллионов знаков, а его расчеты используют для тестирования (стресс-тесты) суперкомпьютеров (проверка их мощности). Современные алгоритмы вычисляют π за часы — то, на что у Шенкса ушли десятилетия.
✅ Урок для науки: история напоминает, что даже самые тщательные ручные расчеты требуют перепроверки. Его "неправильные цифры" ещё 50 лет печатали в учебниках, пока ошибку не нашли!
P.S. Как думаете — стоило ли Шенксу 20 лет жизни ради этого? Или это важная веха в истории науки?
#ЧислоПи #ИсторияНауки #НаучныеОшибки
@mathgim
👍8❤2
🎲 Закон больших чисел
При увеличении количества испытаний среднее значение результатов стремится к математическому ожиданию.
Проведем эксперимент. Возьмем обычный шестигранный кубик (или воспользуемся генератором случайных чисел). Бросим его 10 раз и запишем среднее значение выпавших чисел. Повторим эксперимент, увеличивая количество бросков: 50, 100, 500 раз.
Математическое ожидание для кубика равно (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5
Чем больше бросков, тем ближе среднее значение будет к этой цифре.
#ТеорияВероятностей #ЗаконБольшихЧисел #Эксперимент
При увеличении количества испытаний среднее значение результатов стремится к математическому ожиданию.
Проведем эксперимент. Возьмем обычный шестигранный кубик (или воспользуемся генератором случайных чисел). Бросим его 10 раз и запишем среднее значение выпавших чисел. Повторим эксперимент, увеличивая количество бросков: 50, 100, 500 раз.
Математическое ожидание для кубика равно (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5
Чем больше бросков, тем ближе среднее значение будет к этой цифре.
#ТеорияВероятностей #ЗаконБольшихЧисел #Эксперимент
🔥3👍2❤1
Постоянная Эйлера—Маскерони
Определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа. Это число возникает в самых разных разделах математики — от анализа до теории чисел, но до сих пор хранит множество тайн.
Хотя γ вычислена с огромной точностью (известно более 600 миллиардов знаков!), до сих пор не доказано является ли она рациональной или же иррациональной ? Более того, неизвестно даже, является ли она алгебраической или трансцендентной! Это одна из немногих фундаментальных констант, чья природа остаётся загадкой.
Леонард Эйлер впервые вычислил γ с точностью до 15 знаков в 1734 году. Лоренцо Маскерони (1790) уточнил её значение и ввёл обозначение γ, хотя иногда её называют константой Эйлера. Интересно, что Эйлер использовал в обозначении константы букву C, а Маскерони — A, но позже закрепилось γ (возможно, из-за связи с гамма-функцией γ = -Г'(1)).
#Математика #Константы #ИнтересныеФакты
@mathgim
Определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа. Это число возникает в самых разных разделах математики — от анализа до теории чисел, но до сих пор хранит множество тайн.
Хотя γ вычислена с огромной точностью (известно более 600 миллиардов знаков!), до сих пор не доказано является ли она рациональной или же иррациональной ? Более того, неизвестно даже, является ли она алгебраической или трансцендентной! Это одна из немногих фундаментальных констант, чья природа остаётся загадкой.
Леонард Эйлер впервые вычислил γ с точностью до 15 знаков в 1734 году. Лоренцо Маскерони (1790) уточнил её значение и ввёл обозначение γ, хотя иногда её называют константой Эйлера. Интересно, что Эйлер использовал в обозначении константы букву C, а Маскерони — A, но позже закрепилось γ (возможно, из-за связи с гамма-функцией γ = -Г'(1)).
#Математика #Константы #ИнтересныеФакты
@mathgim
🔥8