Решение

Какую область задает данное неравенство ?

#задачи #решения

@mathgim

Решение

🤯 Почему 0.999… = 1? (И это не приближение!)

Казалось бы, число 0.999... с бесконечным числом девяток должно быть чуть меньше единицы. Но математика говорит: нет, они равны!

Док-во №1
Пусть x = 0.999...
Тогда 10x = 9.999...
Вычтем из второго уравнения первое: 9x = 9
x = 1

Док-во №2
Известно, что 1/3 = 0.333...
Умножим обе части на 3: 1 = 0.999...

Док-во №3
Запишем 0.999... в виде бесконечного ряда: 0.9+0.09+0.009+...
Сумма этого ряда равна 1 - 1/10^n
Устремив предел суммы к бесконечности получаем 1.

Интуиция нас обманывает и кажется, что после бесконечного числа девяток должно остаться "немножко". Но бесконечность не имеет конца. Данное равенство является фундаментом в матанализе и теории чисел, без которого многие теоремы рухнут (например, теорема о единственности предела).

#Бесконечность #Числа #Парадокс

@mathgim

Найдите функцию f(x), удовлетворяющую уравнению

#задачи #решения

@mathgim

Решение

📌 Доказательство иррациональности √2

Предположим, что √2 — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

√2 = p/q, где p,q ∈ ℤ

p² = 2q² ⟹ p — четное (p = 2k)

4k² = 2q² ⟹ q² = 2k² ⟹ q² — четное ⟹ q — четное.

Получаем противоречие. Так p и q являются четными числами, то дробь p/q — сократима. Следовательно √2 не является рациональным числом.

#математика #доказательство #иррациональность

@mathgim

0️⃣ Ноль долго не считали числом!

Знаете ли вы, что ноль — единственное число, которое долгое время не признавали? В древности многие цивилизации (например, греки и римляне) не использовали ноль в своих расчетах, считая его «пустотой», а не числом.

Интересные факты:
✔ Индия (~V век) — первая, где ноль стал полноценным числом благодаря математику Брахмагупте, который описал правила работы с ним.
✔ Арабы переняли ноль и через них он попал в Европу, но даже в Средние века некоторые ученые называли его "дьявольским символом".
✔ Без нуля не было бы ни алгебры, ни компьютеров!

Как думаете, смогли бы мы сейчас жить без нуля? 😉

#Математика #История #Наука #Факты

@mathgim

Число Армстронга

Это натуральное число, которое равно сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству цифр.

Примеры:

153 = 1^3+5^3+3^3
370 = 3^3+7^3+0^3
407 = 4^3+0^3+7^3
1634 = 1^4+6^4+3^4+4^4

Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр:

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

#ЧислаАрмстронга #ТеорияЧисел #ИнтересныеФакты

Найдите неопределенный интеграл

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Решите дифференциальное уравнение

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Почему нельзя делить на ноль?

Каждый знает, что "на ноль делить нельзя", но почему?

Интуитивное объяснение
Деление — это "обратное" умножению. Поэтому вопрос "a/0 = ? , где a ≠ 0 " равносилен поиску x , такого что 0⋅ x = a. Но 0⋅ x всегда 0 , значит решения нет (если a ≠ 0 ).

Попытка деления 0/0
Кажется, что 0/0 может быть любым числом, ведь 0⋅ x = 0 верно для всех x. Но в таком случае это приводит к неопределенности.

Математическая строгость
Если разрешить деление на ноль, то рушатся основные законы арифметики. Например:

1 = 0 / 0 = (0 + 0) / 0 = 0 / 0 + 0 / 0 = 1 + 1 = 2

#ДелениеНаНоль #ЗапрещённыйПриём

@mathgim

Если кубическое уравнение f(x)=0 имеет корень x1 (кратности 2), тогда f ' (x1)=0

Доказательство👇