С помощью чего доказывается, что e — трансцендентное число?
Anonymous Quiz
41%
Теорема Линдемана-Вейерштрасса
11%
Методом Фурье-анализа
22%
Через гипотезу Римана
13%
Построением поля разложения
14%
Индукцией по цифрам
🤯 Почему 0.999… = 1? (И это не приближение!)
Казалось бы, число 0.999... с бесконечным числом девяток должно быть чуть меньше единицы. Но математика говорит: нет, они равны!
Док-во №1
Пусть x = 0.999...
Тогда 10x = 9.999...
Вычтем из второго уравнения первое: 9x = 9
x = 1
Док-во №2
Известно, что 1/3 = 0.333...
Умножим обе части на 3: 1 = 0.999...
Док-во №3
Запишем 0.999... в виде бесконечного ряда: 0.9+0.09+0.009+...
Сумма этого ряда равна 1 - 1/10^n
Устремив предел суммы к бесконечности получаем 1.
Интуиция нас обманывает и кажется, что после бесконечного числа девяток должно остаться "немножко". Но бесконечность не имеет конца. Данное равенство является фундаментом в матанализе и теории чисел, без которого многие теоремы рухнут (например, теорема о единственности предела).
#Бесконечность #Числа #Парадокс
@mathgim
Казалось бы, число 0.999... с бесконечным числом девяток должно быть чуть меньше единицы. Но математика говорит: нет, они равны!
Док-во №1
Пусть x = 0.999...
Тогда 10x = 9.999...
Вычтем из второго уравнения первое: 9x = 9
x = 1
Док-во №2
Известно, что 1/3 = 0.333...
Умножим обе части на 3: 1 = 0.999...
Док-во №3
Запишем 0.999... в виде бесконечного ряда: 0.9+0.09+0.009+...
Сумма этого ряда равна 1 - 1/10^n
Устремив предел суммы к бесконечности получаем 1.
Интуиция нас обманывает и кажется, что после бесконечного числа девяток должно остаться "немножко". Но бесконечность не имеет конца. Данное равенство является фундаментом в матанализе и теории чисел, без которого многие теоремы рухнут (например, теорема о единственности предела).
#Бесконечность #Числа #Парадокс
@mathgim
🔥8👍4
Для каких распределений дисперсия равна квадрату математического ожидания?
Final Results
38%
Нормальное распределение
21%
Распределение Пуассона
10%
Экспоненциальное распределение
10%
Равномерное распределение
21%
Такое возможно только если дисперсия нулевая
👍2
📌 Доказательство иррациональности √2
Предположим, что √2 — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
√2 = p/q, где p,q ∈ ℤ
p² = 2q² ⟹ p — четное (p = 2k)
4k² = 2q² ⟹ q² = 2k² ⟹ q² — четное ⟹ q — четное.
Получаем противоречие. Так p и q являются четными числами, то дробь p/q — сократима. Следовательно √2 не является рациональным числом.
#математика #доказательство #иррациональность
@mathgim
Предположим, что √2 — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
√2 = p/q, где p,q ∈ ℤ
p² = 2q² ⟹ p — четное (p = 2k)
4k² = 2q² ⟹ q² = 2k² ⟹ q² — четное ⟹ q — четное.
Получаем противоречие. Так p и q являются четными числами, то дробь p/q — сократима. Следовательно √2 не является рациональным числом.
#математика #доказательство #иррациональность
@mathgim
👍9
0️⃣ Ноль долго не считали числом!
Знаете ли вы, что ноль — единственное число, которое долгое время не признавали? В древности многие цивилизации (например, греки и римляне) не использовали ноль в своих расчетах, считая его «пустотой», а не числом.
Интересные факты:
✔ Индия (~V век) — первая, где ноль стал полноценным числом благодаря математику Брахмагупте, который описал правила работы с ним.
✔ Арабы переняли ноль и через них он попал в Европу, но даже в Средние века некоторые ученые называли его "дьявольским символом".
✔ Без нуля не было бы ни алгебры, ни компьютеров!
Как думаете, смогли бы мы сейчас жить без нуля? 😉
#Математика #История #Наука #Факты
@mathgim
Знаете ли вы, что ноль — единственное число, которое долгое время не признавали? В древности многие цивилизации (например, греки и римляне) не использовали ноль в своих расчетах, считая его «пустотой», а не числом.
Интересные факты:
✔ Индия (~V век) — первая, где ноль стал полноценным числом благодаря математику Брахмагупте, который описал правила работы с ним.
✔ Арабы переняли ноль и через них он попал в Европу, но даже в Средние века некоторые ученые называли его "дьявольским символом".
✔ Без нуля не было бы ни алгебры, ни компьютеров!
Как думаете, смогли бы мы сейчас жить без нуля? 😉
#Математика #История #Наука #Факты
@mathgim
🔥7
Число Армстронга
Это натуральное число, которое равно сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству цифр.
Примеры:
153 = 1^3+5^3+3^3
370 = 3^3+7^3+0^3
407 = 4^3+0^3+7^3
1634 = 1^4+6^4+3^4+4^4
Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр:
115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401
#ЧислаАрмстронга #ТеорияЧисел #ИнтересныеФакты
Это натуральное число, которое равно сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству цифр.
Примеры:
153 = 1^3+5^3+3^3
370 = 3^3+7^3+0^3
407 = 4^3+0^3+7^3
1634 = 1^4+6^4+3^4+4^4
Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр:
115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401
#ЧислаАрмстронга #ТеорияЧисел #ИнтересныеФакты
👍11
Два геометрических вектора называют равными, если:
Final Results
10%
Они параллельны, имеют общее начало и равные проекции на ось
4%
Их координаты пропорциональны, направления противоположны, а модули одинаковы
12%
Они лежат на одной прямой, их длины равны, а углы между ними нулевые
1%
Их можно совместить поворотом, они сонаправлены и имеют равные скалярные произведения.
71%
Они коллинеарны, однонаправлены и их длины совпадают
1%
Они принадлежат одной плоскости, их векторные произведения равны нулю, а длины идентичны
Чему равно расстояние от точки A(1,2,3) до плоскости 2x-y+2z+4=0 ?
Anonymous Quiz
61%
10/3
0%
3/2
11%
5/3
14%
7/2
9%
2/3
0%
8/5
5%
13/2
👍4
Почему нельзя делить на ноль?
Каждый знает, что "на ноль делить нельзя", но почему?
Интуитивное объяснение
Деление — это "обратное" умножению. Поэтому вопрос "a/0 = ? , где a ≠ 0 " равносилен поиску x , такого что 0⋅ x = a. Но 0⋅ x всегда 0 , значит решения нет (если a ≠ 0 ).
Попытка деления 0/0
Кажется, что 0/0 может быть любым числом, ведь 0⋅ x = 0 верно для всех x. Но в таком случае это приводит к неопределенности.
Математическая строгость
Если разрешить деление на ноль, то рушатся основные законы арифметики. Например:
1 = 0 / 0 = (0 + 0) / 0 = 0 / 0 + 0 / 0 = 1 + 1 = 2
#ДелениеНаНоль #ЗапрещённыйПриём
@mathgim
Каждый знает, что "на ноль делить нельзя", но почему?
Интуитивное объяснение
Деление — это "обратное" умножению. Поэтому вопрос "a/0 = ? , где a ≠ 0 " равносилен поиску x , такого что 0⋅ x = a. Но 0⋅ x всегда 0 , значит решения нет (если a ≠ 0 ).
Попытка деления 0/0
Кажется, что 0/0 может быть любым числом, ведь 0⋅ x = 0 верно для всех x. Но в таком случае это приводит к неопределенности.
Математическая строгость
Если разрешить деление на ноль, то рушатся основные законы арифметики. Например:
1 = 0 / 0 = (0 + 0) / 0 = 0 / 0 + 0 / 0 = 1 + 1 = 2
#ДелениеНаНоль #ЗапрещённыйПриём
@mathgim
👍7✍3💯1