Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда
Пусть члены функционального ряда f(x) непрерывны на отрезке [a, b] и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке. Тогда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.
Иными словами, при выполнении условий теоремы операция интегрирования и суммирования могут быть переставлены местами.
#анализ #ряды #непрерывность
@mathgim
Пусть члены функционального ряда f(x) непрерывны на отрезке [a, b] и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке. Тогда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.
Иными словами, при выполнении условий теоремы операция интегрирования и суммирования могут быть переставлены местами.
#анализ #ряды #непрерывность
@mathgim
👍4
Парадокс Зенона: как пройти путь, если шагов бесконечно ?
Древнегреческий философ Зенон придумал хитрый парадокс:
Чтобы пройти любое расстояние, сначала нужно преодолеть его половину, затем половину оставшегося пути, потом ещё половину и так до бесконечности.
Но как можно за конечное время сделать бесконечное число шагов ?
Если например расстояние равно 1, то путь дробится на:
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n + ... = 1
Кажется, что шагов бесконечно много, но их сумма конечна!
В чем подвох ?
#парадокс #зенон #ряды
@mathgim
Древнегреческий философ Зенон придумал хитрый парадокс:
Чтобы пройти любое расстояние, сначала нужно преодолеть его половину, затем половину оставшегося пути, потом ещё половину и так до бесконечности.
Но как можно за конечное время сделать бесконечное число шагов ?
Если например расстояние равно 1, то путь дробится на:
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n + ... = 1
Кажется, что шагов бесконечно много, но их сумма конечна!
В чем подвох ?
#парадокс #зенон #ряды
@mathgim
❤5🔥3👍1
День квадратного корня
Сегодня отмечается редкий математический праздник (9 раз в столетие), когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года.
05.05.2025
Следующий раз такое будет в 2036 году.
#квадратныйкорень #радикалы
@mathgim
Сегодня отмечается редкий математический праздник (9 раз в столетие), когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года.
05.05.2025
Следующий раз такое будет в 2036 году.
#квадратныйкорень #радикалы
@mathgim
👍9🤯4🥰3❤1
Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда
Пусть члены функционального ряда f(x) непрерывны на отрезке [a, b] и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке. Тогда производная от суммы ряда равна сумме ряда, составленного из производных от членов равномерно сходящегося ряда.
Иными словами, для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.
#анализ #ряды #непрерывность
@mathgim
Пусть члены функционального ряда f(x) непрерывны на отрезке [a, b] и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке. Тогда производная от суммы ряда равна сумме ряда, составленного из производных от членов равномерно сходящегося ряда.
Иными словами, для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.
#анализ #ряды #непрерывность
@mathgim
👍5
Трапеция и окружность
— Если трапецию вписать в окружность, то она равнобедренная
— Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка a и b, то r = sqrt(a ⋅ b)
— В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме ее боковых сторон
#окружность #трапеция #геометрия
@mathgim
— Если трапецию вписать в окружность, то она равнобедренная
— Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка a и b, то r = sqrt(a ⋅ b)
— В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме ее боковых сторон
#окружность #трапеция #геометрия
@mathgim
👍4❤3
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида 👆, где a_n — постоянные (коэффициенты ряда) и x_0 — фиксированное число (центр сходимости).
Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости — точку x_0.
Многие функции (экспонента, синус, косинус) можно разложить в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена).
#Ряды #СтепенныеРяды
@mathgim
Степенным рядом называется функциональный ряд вида 👆, где a_n — постоянные (коэффициенты ряда) и x_0 — фиксированное число (центр сходимости).
Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости — точку x_0.
Многие функции (экспонента, синус, косинус) можно разложить в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена).
#Ряды #СтепенныеРяды
@mathgim
👍4
📌 Радиус сходимости степенного ряда
Число R ≥0 такое, что:
1) при | x - x_0 | < R степенной ряд сходится
2) при | x - x_0 | > R степенной ряд расходится
называется радиусом сходимости.
Интервал (x_0 - R , x_0 + R) называется интервалом сходимости степенного ряда, где ряд можно безопасно использовать.
❗Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно.
❗Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.
#СтепенныеРяды #РадиусСходимости
@mathgim
Число R ≥0 такое, что:
1) при | x - x_0 | < R степенной ряд сходится
2) при | x - x_0 | > R степенной ряд расходится
называется радиусом сходимости.
Интервал (x_0 - R , x_0 + R) называется интервалом сходимости степенного ряда, где ряд можно безопасно использовать.
❗Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно.
❗Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.
#СтепенныеРяды #РадиусСходимости
@mathgim
👍3
🏃➡️ Стремиться к чему-то, но никогда не достичь
Асимптота — это прямая, к которой график функции бесконечно приближается, но никогда её не пересекает.
Для чего они нужны ?
Асимптоты помогают понять поведение функции на бесконечности или в особых точках. Это важно в математике, физике, экономике, биологии и других науках, где нужно предсказывать поведение систем.
Философский момент
Асимптоты — это не только математическое понятие, но и метафора жизни. Мы часто стремимся к идеалу, но никогда его не достигаем. И это нормально! Главное — быть достаточно близко.
#асимптоты #функции #графики
Асимптота — это прямая, к которой график функции бесконечно приближается, но никогда её не пересекает.
Для чего они нужны ?
Асимптоты помогают понять поведение функции на бесконечности или в особых точках. Это важно в математике, физике, экономике, биологии и других науках, где нужно предсказывать поведение систем.
Философский момент
Асимптоты — это не только математическое понятие, но и метафора жизни. Мы часто стремимся к идеалу, но никогда его не достигаем. И это нормально! Главное — быть достаточно близко.
#асимптоты #функции #графики
👍8