Используя интегральный признак Коши можно представить простое доказательство критерия сходимости ряда Дирихле.

Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, поэтому достаточно вычислить несобственный интеграл от нее и определить при каких s интеграл сходится/расходится.

Интуиция или точный расчёт ?

Утверждается, что в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух людей превышает 50%.

На первый взгляд кажется, что 23 человека — это слишком мало, чтобы шанс совпадения дней рождения был больше 50%. Ведь в году 365 дней, и кажется, что нужно гораздо больше людей для такого совпадения.

Что говорит холодный расчет ?

Для группы из 23 человек вероятность того, что все дни рождения разные, вычисляется так:

P(все разные) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × 343/365 = 0.4927

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек дни рождения совпадут:

P(совпадение) = 1 - P(все разные) = 1 - 0.4927 = 0.5073

Почему это противоречит интуиции ?

Наша интуиция часто ошибается, потому что мы думаем о конкретном человеке и его дне рождения. Но в группе из 23 человек количество возможных пар для сравнения дней рождения равно:

C_{23}^2 = (22 × 23) / 2 = 253

Именно это большое количество пар и приводит к тому, что вероятность совпадения превышает 50%

#Математика #Вероятность #Парадокс #Интуиция

Исследуйте ряд на сходимость

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Рассмотрим f(x), которая удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Интеграл от f(x) расходится, следовательно исходный ряд расходится.

Решите задачу Коши

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Решите матричное уравнение

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Найдите все пары простых чисел (x,y), которые удовлетворяют данному равенству

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Число 1089

Возьмите любое трехзначное число (есть исключения, см. комментарии), запишите его в обратном порядке, вычтите меньшее из большего, а затем сложите результат с его обратной записью. Всегда получится 1089!

Пример:

1. Возьмем трехзначное число: 742
2. Запишем его в обратном порядке: 247
3. Вычтем меньшее из большего: 742-247 = 495
4. Запишем результат в обратном порядке: 594
5. Сложим результат с его обратной записью: 495+594 = 1089

@mathgim

Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочередно то неотрицательны, то отрицательны.

#определение #ряды

@mathgim

Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится не только он сам, но и ряд, составленный из модулей его членов.

А если сам ряд сходится, но ряд из его модулей расходится, то такой ряд называют условно сходящимся.

#ряды #признаксходимости

@mathgim

Признак Лейбница

Его также называют достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда:

1. Последовательность, составленная из модулей членов ряда, монотонно убывает.

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда.

#ряды #признаксходимости

@mathgim

Функциональный ряд

Пусть дана бесконечная последовательность функций, зависящих от переменной x и имеющих общую область определения. Тогда ряд, составленный из этих функций, называется функциональным.

Для каждого конкретного x из области определения такой ряд превращается в обычный числовой ряд — который может как сходиться, так и расходиться.

Значение x , при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда.

Изучение функциональных рядов важно в анализе, математической физике и других разделах математики, так как они позволяют представлять сложные функции в виде бесконечных сумм более простых (например ряды Тейлора, Фурье и т.д.)

#Ряды #ФункциональныйАнализ

@mathgim

🤫 Математические фразы и их настоящий смысл :)

"Это очевидно..."
(я сам не до конца понимаю, но если сказать это уверенно, все кивнут)

"Аналогично доказывается..."
(я не хочу писать это снова, поверьте на слово)

"Несложно показать, что..."
(я потратил на это три дня и две пачки бумаги)

"Осталось проверить лишь несколько случаев..."
(их 478, но кто считал?)

"Без ограничения общности..."
(я выбрал удобный случай, а остальные — ваши проблемы)

"Упражнение для читателя"
(я застрял, теперь ваша очередь мучиться)

@mathgim

Когда сумма ведёт себя хуже своих слагаемых: парадокс функциональных рядов

Мы привыкли думать, что если все части обладают определённым свойством, то и целое будет им обладать. Но математика любит нарушать наши ожидания!

Рассмотрим классический пример ряда из непрерывных функций:
1) Каждый член ряда — многочлен;
2) Частичная сумма неожиданно проста;
3) Вычислим предел при n стремящемся к бесконечности;

Несмотря на непрерывность всех членов ряда, сумма ряда f(x) имеет разрыв в точке x = 1 !

Таким образом, сумма ряда будет сохранять хорошие свойства (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость и т.д.) своих членов только в том случае, если ряд сходится равномерно.

Это как в жизни:
Представьте, что вы строите башню из кубиков. Если класть их ровно и аккуратно (равномерная сходимость), башня получится устойчивой. Но если ставить их как попало (неравномерно), то конструкция может внезапно развалиться — даже если каждый кубик сам по себе идеален.

#ФункциональныеРяды #РавномернаяСходимость

@mathgim