Если однозначная функция комплексного переменного дифференцируема в некоторой окрестности точки z, то такая функция называется аналитической (регулярной или голоморфной).

Обобщенный гармонический ряд или ряд Дирихле

Если s <= 1, то ряд расходится;
Если s > 1, то ряд сходится.

Случай s = 1 мы уже доказали ранее. У кого получится по аналогии доказать остальные два утверждения ?)

#ряды #сходимость #ряддирихле

@mathgim

Признак сравнения

Пусть даны два положительных ряда A и B, причем, начиная с некоторого номера N, элементы ряда A не превосходят соответствующих элементов ряда B. Тогда:

1. Если больший ряд B сходится, то меньший ряд A также сходится.
2. Если меньший ряд A расходится, то больший ряд B также расходится.

❗Однако, из расходимости большего ряда B или сходимости меньшего ряда A нельзя сделать вывод о сходимости или расходимости второго ряда.

#ряды #признаксходимости

@mathgim

#задачи #решения

Исследуйте оба ряда на сходимость с помощью признака сравнения

Решение

В обоих случаях общий член ряда ведет себя как общий член гармонического ряда (при больших n). Это позволяет:

• оценить первый ряд снизу — и так как гармонический ряд расходится, то по признаку сравнения исходный ряд тоже расходится;

• оценить второй ряд сверху — но здесь мы не можем сделать однозначный вывод о его сходимости или расходимости по признаку сравнения.

Таким образом, первый ряд точно расходится, а второй требует дополнительного исследования.

Действительные числа x, y и a удовлетворяют данному равенству. Найдите значение указанного выражения в зависимости от a.

#задачи #решения

@mathgim

Предельная форма признака сравнения

Пусть даны два положительных ряда A и B.

Если существует конечный предел👆(не равный нулю), то ряды A и B сходятся или расходятся одновременно.

В следующем посте докажем этот признак.

#ряды #признаксходимости

@mathgim

🧐 Иллюзия Ястрова

Эта иллюзия — отличный пример того, как геометрия и психология пересекаются. Она показывает, что даже в точных науках есть место для "обмана" и субъективности.

На GIF изображении выше два объекта А и B кажутся разными по длине, хотя на самом деле они абсолютно одинаковы! Это происходит из-за того, что наш мозг неправильно интерпретирует углы и наклоны, сравнивая их друг с другом, а затем "достраивает" изображение, опираясь на окружающие элементы. В результате мы видим то, чего на самом деле нет.

P.S. Иногда стоит взглянуть на вещи под другим углом, чтобы увидеть правду.

#иллюзии #геометрия #парадоксы

@mathgim

⚪️ Объём гиперсферы

Представьте, что вы начинаете увеличивать размерность пространства и смотрите, как меняется объём гиперсферы. Кажется, что с ростом размерности n объём должен расти, но…

При увеличении n объем сначала растёт, достигает максимума (примерно в размерности n = 5), а потом стремится к нулю! Да-да, в бесконечномерном пространстве гиперсфера почти не имеет объема!

Чем выше размерность, тем «пустее» пространство — почти весь объём гиперкуба концентрируется у его углов, а шар «исчезает»!

Доказательство
Объём n-мерной гиперсферы радиуса R задается формулой (1). Для гаммы-функции в знаменателе применим асимптотику Стирлинга (2). Преобразовав выражение для объёма получаем два множителя, каждый из которых стремится к нулю.

#гиперсфера #объём #размерность

@mathgim

Число 142857

Давайте посмотрим, что происходит, если умножить это число на 1, 2, 3, 4, 5 или 6:

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Цифры просто вращаются!

@mathgim

#Задачи #Решения

Докажите, что функция комплексного переменного f(z) = Ln(1+z) является регулярной и найдите ее производную по формуле:

@mathgim

Составьте осмысленное равенство, используя только представленные математические обозначения и символы (каждый элемент должен быть использован минимум один раз).

Последние два символа — операции деления и возведения в степень.

@mathgim

Решение

Радикальный признак сходимости Коши

Пусть для положительного ряда существует предел 👆

1. Если q < 1, то ряд сходится
2. Если q > 1, то ряд расходится
3. Если q = 1, то ряд может и сходится, и расходится.

#ряды #признаксходимости

@mathgim

Признак сходимости Даламбера

Пусть для положительного ряда существует предел 👆

1. Если q < 1, то ряд сходится
2. Если q > 1, то ряд расходится
3. Если q = 1, то ряд может и сходится, и расходится.

#ряды #признаксходимости

@mathgim