#задачи #решения

Решите уравнение

|2x - 3| + |x + 1| = 5

Решение👇

1. Найдем критические точки, где выражения под модулем меняют знак:

2x-3=0 => x = 3/2
x+1=0 => x = -1

2. Случай x < -1

-2x+3-x-1=5 => x = -1
Решения нет, так как x < -1

3. Случай -1<=x<=3/2

-2x+3+x+1=5 => x = -1

4. Случай x > 3/2

2x-3+x+1=5 => x = 7/3

Ответ: x = {-1; 7/3}

Найдите неопределенный интеграл

#задачи #решения

@mathgim

Решение

#задачи #решения

Найдите значение синуса 18 градусов, не пользуясь табличными значениями.

Решение👇

Задача о шарах

У вас есть 20 шаров, из которых 19 весят одинаково, а один — тяжелее. Как за минимальное количество взвешиваний на чашечных весах найти тяжелый шар?

Решение 👇

1) Разделите шары на три группы: 7, 7 и 6.
2) Взвесьте две группы по 7 шаров.
3) Если одна из групп тяжелее, тяжелый шар в ней. Если весы уравновешены, тяжелый шар в группе из 6.
4) Повторите процесс с группой, в которой находится тяжелый шар, разделив её на три части.

При таком алгоритме действий, для всех вариантов развития событий, максимальное количество взвешиваний будет равно 3.

#задачи #решения

@mathgim

Необходимый признак сходимости ряда

При изучении числовых рядов одним из первых вопросов, который возникает: Сходится ли этот ряд ?

Чтобы ответить на него, существует множество признаков сходимости, но один из самых базовых и важных — НПС.

Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю. С проверки этого условия (вычисления предела) надо начинать решение любой задачи на исследование сходимости ряда. Если это условие не выполняется, то ряд заведомо расходится.

❗Этот признак необходимый, но не достаточный. Примером является гармонический ряд.

#признаксходимости #ряды

@mathgim

📜 История знака равенства

Вы когда-нибудь задумывались, откуда взялся привычный нам знак "=" ? Его придумал английский математик Роберт Рекорд в 1557 году — и это был настоящий прорыв в записи уравнений!

До XVI века равенство записывали словами:

«3 плюс 5 равняется 8» → «3 et 5 aequantur 8» (лат.)

Только представьте, как громоздко выглядели даже самые простые уравнения!

Рекорд ввёл знак "=" в своей книге «The Whetstone of Witte» и объяснил это так:

Я выбрал два одинаковых параллельных отрезка, ибо нет ничего более равного

Введенный знак приживался ещё почти 100 лет! Некоторые учёные (например, Декарт) ещё десятилетиями писали равенство словами.

Этот символ упростил запись уравнений, сделав математику лаконичнее и нагляднее. Теперь это универсальный язык — от школьной тетрадки до сложнейших теорем.

@mathgim

Фрактал Хартера-Хейтуэя или кривая дракона

Этот фрактал строится путём многократного складывания полоски бумаги пополам и разворачивания её так, чтобы все сгибы были под 90°.

Каждое новое складывание удваивает количество изгибов, усложняя форму. Несмотря на кажущуюся хаотичность кривая дракона никогда не пересекает саму себя. К тому же она относится к самоподобным фракталам, так как её части повторяют целое.

#фракталы #криваядракона

😬 То чувство, когда задача решена, но ты понимаешь, что потерял минус...

Знакомо, да? Ты сидишь, решаешь, вроде всё сходится, ответ красивый, и ты уже готов торжественно закрыть тетрадь... Но тут бац! Взгляд цепляется за строчку, и ты понимаешь: минус пропал!

Всё, конец света. Теперь надо перепроверять каждую строчку, искать, где этот коварный минус решил сбежать. А он, как назло, спрятался где-то между сложными преобразованиями. Ситуация становится еще хуже, если осознание этого приходит после того, как работа уже сдана.

Но знаете, что самое интересное? Это не провал, а важный этап обучения. Каждый потерянный минус делает нас внимательнее, а каждый найденный — сильнее. Так что не расстраивайтесь, если вдруг обнаружили ошибку. Это просто повод стать лучше!

А как вы справляетесь с такими ситуациями? Делитесь в комментариях своими историями о потерянных минусах (или плюсах)! 😄

P.S. Спасибо всем внимательным читателям канала, которые иногда в решениях могут обнаружить опечатку (вроде пропущенного dt) и сразу в комментариях сообщают об этом. С вашей помощью качество контента на канале улучшается, так как подобного рода моменты сразу редактируются.

#математика #задачи #ошибки #учусьнаошибках

@mathgim

Треугольник Рёло

Это область образована пересечением трёх кругов одинакового радиуса с центрами в вершинах правильного треугольника.

Данная фигура — гений инженерной мысли. Несмотря на отсутствие округлости, как у круга, треугольник остается незаменимым в самых различных сферах нашей жизни:

Автомобильные двигатели — ротор двигателя Ванкеля движется именно по форме треугольника Рёло, обеспечивая плавную работу.

Сверление квадратных отверстий — специальные свёрла на основе этой фигуры создают почти идеальные квадратные пазы.

Дизайн монет и логотипов — например, британские 20 и 50 пенсов имеют форму, близкую к треугольнику Рёло, чтобы удобно проходить в автоматы.

Архитектура и дизайн — окна, элементы мебели и даже целые здания используют его эстетику.

Робототехника — колёса с формой Рёло позволяют роботам двигаться плавно и устойчиво.

#рёло #геометрия

@mathgim

Комплексный логарифм

А вы знали, что помимо привычного нам натурального логарифма ln, есть также комплексный, который принято обозначать как Ln ?

В отличие от обычного ln, который определён только для положительных действительных чисел, Ln является обобщением и работает с комплексными числами.

Таким образом есть возможность вычислять логарифм от отрицательных чисел тоже, например:

Ln(-1) = ln(1)+iπ = iπ

#тфкп #логарфим

@mathgim

🤥 Парадокс Пиноккио

Давайте представим, что Пиноккио, тот самый деревянный мальчик, чей нос растёт, когда он врёт, говорит:

Сейчас у меня удлинится нос

Что в таком случае произойдет ?

Если нос не увеличится — значит, мальчик соврал, и нос будет обязан тут же вырасти. А если нос вырастет — значит, мальчик сказал правду, но тогда почему вырос нос?

Этот парадокс — отличный пример того, как самореферентные утверждения (когда фраза ссылается на саму себя) могут запутать даже самую строгую логику. Он похож на парадокс лжеца, где утверждение «Я лгу» ставит нас в тупик.

#Логика #Парадоксы #Философия

@mathgim

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Задание комплекснозначной функции f(z) комплексной переменной z=x+iy равносильно заданию двух действительных функций u(x,y) и v(x,y) двух действительных переменных!

f(z) = f(x+iy) = Re f(x+iy) + i Im f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)

Рассмотрим пример:

Условия Коши — Римана

Для того, чтобы функция

f(z) = u(x,y)+iv(x,y)

была дифференцируема в точке z=x+iy, необходимо и достаточно, чтобы функции

u(x,y) = Re f(z)
v(x,y) = Im f(z)

были дифференцируемы в точке (x,y), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения:

Производная дифференцируемой функции комплексного переменного может находиться по любой из формул:

Если однозначная функция комплексного переменного дифференцируема в некоторой окрестности точки z, то такая функция называется аналитической (регулярной или голоморфной).

Обобщенный гармонический ряд или ряд Дирихле

Если s <= 1, то ряд расходится;
Если s > 1, то ряд сходится.

Случай s = 1 мы уже доказали ранее. У кого получится по аналогии доказать остальные два утверждения ?)

#ряды #сходимость #ряддирихле

@mathgim