Решение

Вычислите интеграл, где C — окружность радиуса 2, проходимая в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

#задачи #решения

@mathgim

Решение

День числа π

Сегодня отмечается международный праздник известной математической константы.

В этот день проводятся различные мероприятия, такие как математические конкурсы, лекции, мастер-классы и, конечно, угощения в виде пирогов (по звучанию "пай" (pie) на английском, что созвучно с "пи" (pi)).

Примечательно, что в этот же день родился Альберт Эйнштейн, а также умер Стивен Хокинг.

3/14 1:59:26 p.m.

#ДеньПи #ЧислоПи

@mathgim

Докажите неравенство

#задачи #решения

@mathgim

Решение

⏰ Можно ли описать всю жизнь, если писать вечно?

Представьте, что вы пишете автобиографию. Вы тратите ровно один год, чтобы описать события одного дня своей жизни. Именно такую ситуацию описывает Стерн Лоренс в своем романе «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена».

Казалось бы, он никогда не догонит настоящее, ведь каждый новый день требует целого года написания. Но вот загвоздка: если жить вечно, то можно не только догнать настоящее, но и описать всю свою жизнь!

Этот связано с понятием бесконечности и свойствами бесконечных множеств. Даже если тратить всё больше времени на описание каждого дня, бесконечное количество времени позволяет завершить автобиографию.

Аналогия приводится очень простая

Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:

1 2 3 4 5 …

1 4 9 16 25 …

2 4 8 16 32 …

1 2 6 24 120 …

Также можно привести и другие примеры рядов натуральных чисел с еще более быстрым ростом, где элементов будет столько же, сколько натуральных чисел.

#бесконечность #счетность #время

🦧Теорема о бесконечных обезьянах

Теорема утверждает, что если случайный процесс (например, обезьяна, стучащая по клавишам) продолжается бесконечно, то любая конечная последовательность символов (например, текст "Гамлета") рано или поздно будет воспроизведена с вероятностью 1.

Хотя теорема звучит как шутка, она имеет серьёзные основания в теории вероятностей и используется для иллюстрации понятий случайности и бесконечности. Например, она помогает понять, почему в бесконечной Вселенной возможны любые, даже самые маловероятные события.

В 2003 году эксперимент с реальными обезьянами показал, что они предпочитают бить по клавиатуре камнями и справлять на неё нужду, чем писать сонеты. 😅Так что Шекспира от них ждать не стоит!

В любом случае данная теорема напоминает нам, что в мире математики невозможное возможно...если подождать достаточно долго ⏳

#задачи #решения

По данному графику восстановите соответствующее исходное алгебраическое уравнение

Гармонический ряд

Кажется, что с каждым новым слагаемым ряд становится всё меньше и меньше, и в какой-то момент должен остановиться. Но несмотря на то, что слагаемые стремятся к нулю, сумма ряда неограниченно растёт.

Доказывается это очень просто, путем рассмотрения частичных сумм c числом слагаемых, равных степеням числа 2:

1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+...+1/16)+(1/17+...+1/32)+...

Сумма каждой скобки больше 1/2

1/3+1/4 > 1/4+1/4 = 2/4 = 1/2

1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 = 4/8 = 1/2

1/9+...+1/16 > 8/16 = 1/2

и т.д.

Таким образом, если в последовательности существует подпоследовательность, стремящаяся к бесконечности, то сама последовательность не может иметь конечного предела. Это подтверждает, что гармонический ряд является расходящимся.

#ряды #суммы #предел

@mathgim

Докажите неравенство

#задачи #решения

@mathgim

Решение

Число Капрекара

Если натуральное число возвести в квадрат и разделить полученное число на две части, то сумма этих частей будет равна исходному числу.

Данным свойствам обладают числа Капрекара, которые были открыты в 1949 году и названы в честь индийского математика — Даттарая Рамчандра Капрекара.

Примеры

45 : 45^2 = 2025 => 20+25=45

9 : 9^2 = 81 => 8+1=9

55 : 55^2 = 3025 => 30+25=55

297 : 297^2 = 88209 => 88+209=297

@mathgim

🔺Пять способов найти площадь равностороннего треугольника

S — площадь треугольника;
a — сторона треугольника;
R — радиус описанной окружности;
h — высота треугольника;
r — радиус вписанной окружности.

#геометрия #площадьтреугольника

@mathgim