Математика с нуля
интересная задачка для гениев: без калькулятора
Заметим, что 0.04=0.2^2, тогда выражение имеет вид t^2-4t, где t=(0.2)^x, t^2=(0.2)^2x.
Более того, h(t)=t^2-4t=(t-2)^2-4, где график функции h(t) — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в t=2.
Оценим аргументы:
Пусть x_1=sqrt(5)-sqrt(10), x_2=sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)-sqrt(10) and sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)+sqrt(11) and sqrt(6)+sqrt(10)
16+2*sqrt(55) and 16+2*sqrt(60)
2*sqrt(55) < 2*sqrt(60) => sqrt(5)-sqrt(10) < sqrt(6)-sqrt(11) <=> x_1<x_2.
Рассмотрим функцию u(x)=(0.2)^x — строго убывающая функция, так как f(x)=a^x, a ∈ (0;1) — строго убывающая функция. Тогда x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>u(0)=1 => t_1>t_2>1.
Важно заметить, если бы вершина параболы была в точке t_0<=1, то можно было закончить решение и сказать, что x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>1 => t_1>t_2>1 => h(t_1)>h(t_2) => A>B, так как функция h(t) была бы строго возрастающая на промежутке от (t_0; +infy), но ввиду того, что t_0=2, и на промежутке (-infty;2) она строго убывающая могут быть такие варианты:
2>u(x_1)>u(x_2)>1 => 2>t_1>t_2>1 => h(t_1)<h(t_2) => A<B;
u(x_1)>2>u(x_2)>1 => t_1>2>t_2>1 => A ? B — здесь мы вообще не уверены, что больше, так как они на разных участках монотонности;
u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2 => h(t_1)>h(t_2) => A>B.
То есть мы не может дать однозначный ответ, поэтому нужно проверить, что u(x_2)>2, т. е. t_2>2 (или первый случай).
Проверим u(x_2)=0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]>2:
0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]=5^(-1*[sqrt(6)-sqrt(11)])=5^[sqrt(11)-sqrt(6)]. То есть
5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>2.
5^1/2>4^1/2=2, то есть достаточно доказать, что sqrt(11)-sqrt(6)>1/2.
sqrt(11)>1/2+sqrt(6)
11>6.25+sqrt(6)
4.75>sqrt(6)
4.75^2>6
22.5625>6 что верно.
То есть
sqrt(11)-sqrt(6)>1/2, следовательно 5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>5^1/2>2.
Итог: u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2. Поэтому выполняется третий вариант и A>B.
Более того, h(t)=t^2-4t=(t-2)^2-4, где график функции h(t) — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в t=2.
Оценим аргументы:
Пусть x_1=sqrt(5)-sqrt(10), x_2=sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)-sqrt(10) and sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)+sqrt(11) and sqrt(6)+sqrt(10)
16+2*sqrt(55) and 16+2*sqrt(60)
2*sqrt(55) < 2*sqrt(60) => sqrt(5)-sqrt(10) < sqrt(6)-sqrt(11) <=> x_1<x_2.
Рассмотрим функцию u(x)=(0.2)^x — строго убывающая функция, так как f(x)=a^x, a ∈ (0;1) — строго убывающая функция. Тогда x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>u(0)=1 => t_1>t_2>1.
Важно заметить, если бы вершина параболы была в точке t_0<=1, то можно было закончить решение и сказать, что x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>1 => t_1>t_2>1 => h(t_1)>h(t_2) => A>B, так как функция h(t) была бы строго возрастающая на промежутке от (t_0; +infy), но ввиду того, что t_0=2, и на промежутке (-infty;2) она строго убывающая могут быть такие варианты:
2>u(x_1)>u(x_2)>1 => 2>t_1>t_2>1 => h(t_1)<h(t_2) => A<B;
u(x_1)>2>u(x_2)>1 => t_1>2>t_2>1 => A ? B — здесь мы вообще не уверены, что больше, так как они на разных участках монотонности;
u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2 => h(t_1)>h(t_2) => A>B.
То есть мы не может дать однозначный ответ, поэтому нужно проверить, что u(x_2)>2, т. е. t_2>2 (или первый случай).
Проверим u(x_2)=0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]>2:
0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]=5^(-1*[sqrt(6)-sqrt(11)])=5^[sqrt(11)-sqrt(6)]. То есть
5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>2.
5^1/2>4^1/2=2, то есть достаточно доказать, что sqrt(11)-sqrt(6)>1/2.
sqrt(11)>1/2+sqrt(6)
11>6.25+sqrt(6)
4.75>sqrt(6)
4.75^2>6
22.5625>6 что верно.
То есть
sqrt(11)-sqrt(6)>1/2, следовательно 5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>5^1/2>2.
Итог: u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2. Поэтому выполняется третий вариант и A>B.
❤3
Пусть n ∈ N. Тогда количество цифр q в десятичной записи числа n вычисляется по формуле
q=[log(10,n)]+1.
Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим (q+1)-значным числом. Наименьшее q-значное число равно 10^(q-1), а наименьшее (q+1)-значное число равно 10^q. То есть верно следующее двойное неравенство:
10^(q-1) ≤ n ≤ 10^q
Применим логарифмическую функцию по основанию 10 ко всем частям двойного неравенства:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ q
Знак сохранился ввиду того, что основание логарифмической функции больше 1 и она строго монотонно возрастающая на всей области определения.
Обратимся к определению функции антье (нижняя целая часть числа):
для любого действительного числа x его нижняя целая часть — это такое наибольшее целое число m, что выполняется условие:
m ≤ x ≤ m+1
Перепишем наше равенство в эквивалентном виде:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ (q-1)+1
Видно, что оно точно совпадает с определением функции антье, где роль x играет log(10,n), а роль целого числа m играет (q-1).
Следовательно, по определению:
[log(10,n)]=q-1 <=> q=[log(10,n)]+1
Тоерема доказана.
q=[log(10,n)]+1.
Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим (q+1)-значным числом. Наименьшее q-значное число равно 10^(q-1), а наименьшее (q+1)-значное число равно 10^q. То есть верно следующее двойное неравенство:
10^(q-1) ≤ n ≤ 10^q
Применим логарифмическую функцию по основанию 10 ко всем частям двойного неравенства:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ q
Знак сохранился ввиду того, что основание логарифмической функции больше 1 и она строго монотонно возрастающая на всей области определения.
Обратимся к определению функции антье (нижняя целая часть числа):
для любого действительного числа x его нижняя целая часть — это такое наибольшее целое число m, что выполняется условие:
m ≤ x ≤ m+1
Перепишем наше равенство в эквивалентном виде:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ (q-1)+1
Видно, что оно точно совпадает с определением функции антье, где роль x играет log(10,n), а роль целого числа m играет (q-1).
Следовательно, по определению:
[log(10,n)]=q-1 <=> q=[log(10,n)]+1
Тоерема доказана.
❤5
Математика с нуля
Пусть n ∈ N. Тогда количество цифр q в десятичной записи числа n вычисляется по формуле q=[log(10,n)]+1. Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим…
Интуитивно не так сложно понять это и прийти к этой формуле.
Если посмотреть на числа n:
1≤n<10 => 1 цифра
10≤n<100 => 2 цифры
100≤n<1000 => 3 цифры
10^(q-1)≤n<10^(q) => q цифр.
И тут хотелось бы как-то перейти от степени 10 к показателю 10, тк этот показатель и есть q. Вспоминаем, что log(n,n)=1. Отсюда мысль о том, что тут нужен логарифм. А мысль, почему нужна функция антье, ввиду того, что нам нужны целые части получаемых чисел от log(10,n). Так мы и приходим к тому, что n может быть аргументом функции функции [log(10,n)] и если рассмотреть при тех же n:
1≤n<10 => [log(10,n)]=0
10≤n<100 => [log(10,n)]=1
100≤n<1000 => [log(10,n)]=2
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]=q-1
остается добавить 1 и получится искомое количество цифр
1≤n<10 => [log(10,n)]+1=1
10≤n<100 => [log(10,n)]+1=2
100≤n<1000 => [log(10,n)]+1=3
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]+1=q.
Если посмотреть на числа n:
1≤n<10 => 1 цифра
10≤n<100 => 2 цифры
100≤n<1000 => 3 цифры
10^(q-1)≤n<10^(q) => q цифр.
И тут хотелось бы как-то перейти от степени 10 к показателю 10, тк этот показатель и есть q. Вспоминаем, что log(n,n)=1. Отсюда мысль о том, что тут нужен логарифм. А мысль, почему нужна функция антье, ввиду того, что нам нужны целые части получаемых чисел от log(10,n). Так мы и приходим к тому, что n может быть аргументом функции функции [log(10,n)] и если рассмотреть при тех же n:
1≤n<10 => [log(10,n)]=0
10≤n<100 => [log(10,n)]=1
100≤n<1000 => [log(10,n)]=2
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]=q-1
остается добавить 1 и получится искомое количество цифр
1≤n<10 => [log(10,n)]+1=1
10≤n<100 => [log(10,n)]+1=2
100≤n<1000 => [log(10,n)]+1=3
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]+1=q.
❤3
Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые принимает выражение a*sin^2(x)+b*cos^2(x) в зависимости от значений параметров a и b
Математика с нуля
Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые принимает выражение a*sin^2(x)+b*cos^2(x) в зависимости от значений параметров a и b
a*sin^2(x)+b*cos^2(x) <=> a*sin^2(x)+b*(1-sin^2(x)) = b+(a-b)*sin^2(x).
Получается линейная функция относительно sin^2(x), т. е.:
f(sin^x))=b+(a-b)*sin^2(x), где sin^2(x) ∈ [0;1].
Линейная функция на отрезке достигает своих экстремумов строго на концах этого отрезка.
При sin^2(x)=0, f(0)=b.
При sin^2(x)=1, f(1)=a.
То есть, выражение принимает значения только от a до b (или наоборот, смотря что больше a или b).
Наибольшее значение max(a,b), наименьшее значение min(a,b).
Тут если кто хоть немного задачи решал, то сразу увидит, что задачи, на первый взгляд, шаблонные. И я конечно согласен, что те, кто бездумно зубрят, будут в этих задачах сразу видеть этот зазубренный шаблон и решить будет сложно, но про лауреатов было, с одной стороны грубо и глупо, но, с другой, гениально. Очевидно, что решить они смогут, но разве был бы в таком случае хайп вокруг задачи этих, коль не было бы этого высказывания.
У него еще про французских школьников есть похожее, мол они дроби складывают 1/2+1/3=2/5, зато знают, что такое коммутативность. И некоторые даже думают, что он шиз, но как по мне все таки гений математики и долгосрочного хайпа.
Автор книги: В. И. Арнольд "Задачи для детей от 5 до 15 лет"
У него еще про французских школьников есть похожее, мол они дроби складывают 1/2+1/3=2/5, зато знают, что такое коммутативность. И некоторые даже думают, что он шиз, но как по мне все таки гений математики и долгосрочного хайпа.
❤1
Докажите, что значения cos(x) и sin(x) одновременно являются рациональными числами тогда и только тогда, когда рационально значение tg(x/2) (кроме пары значений (-1;0))
❤3
Математика с нуля
Докажите, что значения cos(x) и sin(x) одновременно являются рациональными числами тогда и только тогда, когда рационально значение tg(x/2) (кроме пары значений (-1;0))
tg(x/2)=sin(x)/(1+cos(x))
Пусть, sin(x), cos(x) ∈ Q, то так как Q — поле, то частное двух рациональных чисел sin(x) и 1+cos(x) является рациональным числом. Следовательно, tg(x/2) ∈ Q.
Пусть теперь tg(x/2) ∈ Q. Тогда по известным формулам:
sin(x)=2tg(x/2)/(1+tg^2(x/2)),
cos(x)=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2)).
Так как tg(x/2) ∈ Q, а Q — поле, замкнутое относительно применяемых алгебраических операций, и 1+tg^2(x/2) не равно 0, то sin(x), cos(x) ∈ Q.
❤3