Математика с нуля
Докажите, что функция y=2{x}-x не является периодической.
2{x}-x={x}-[x].
Тогда f(T)={T}-[T]=0, т. е.
{T}=[T]. Такое возможно только при T=0, но по определению периода функции Т>0. Получили противоречие, следовательно функция f не является периодической.
❤3
При каком значении а ∈ R. Функция f(x)=ax-[x] будет периодической?
Найдите ее главный период.
Найдите ее главный период.
❤2
Математика с нуля
При каком значении а ∈ R. Функция f(x)=ax-[x] будет периодической? Найдите ее главный период.
|{x}+bx|≤ c. Но при росте x выражение bx неограниченно растет, что приводит к выводу о непериодичности исходной функции. При a < 1 выполняется a = 1 - b, b > 0, и далее рассуждения аналогичны.
❤2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Гений нашего времени — Роман Михайлов — Ниндзя.
❤3👍2😁2
Математика с нуля
👈😏👉
б) -(2*b^6)^1/6
в) -(-2*b^7)^1/6
г) (5*a^5)^1/4
д) sgn(a)*(b^7*a^4)^1/4
е) -sgn(a)*(-2b^7*a^6)^1/6
ж) sgn(ab)*(-a^19*b^7)^1/6 или элегантнее 🤌 -(-a^19*b^7)^1/6
❤3
(|x - a - 1| + |x - a + 1|)^2 + a(|x - a - 1| + |x - a + 1|) + a^2 - 16 = 0
При каких a уравнение имеет ровно два разных корня?
При каких a уравнение имеет ровно два разных корня?
❤4
Математика с нуля
(|x - a - 1| + |x - a + 1|)^2 + a(|x - a - 1| + |x - a + 1|) + a^2 - 16 = 0 При каких a уравнение имеет ровно два разных корня?
Кстати, эту задачу на ЕГЭ решило всего лишь 2% учеников. Понимаю, задача сложная, но чтобы настолько 💀
❤5
Математика с нуля
(|x - a - 1| + |x - a + 1|)^2 + a(|x - a - 1| + |x - a + 1|) + a^2 - 16 = 0 При каких a уравнение имеет ровно два разных корня?
Пусть t(x)=|x-a-1|+|x-a+1|. Геометрически на вещественной прямой эта сумма расстояний от переменной точки х до фиксированных точек a+1 и a-1. Расстояние между этими точками равно 2. В силу кусочно-линейного анализа, получим, что минимум этой функции достигается на отрезке [a-1;a+1] и равен 2. То есть:
Для любого x ∈ [a-1;a+1] значение t(x)=2. Это означает, что на данном промежутке несчетное множество решений.
Вне этого отрезка функция строго монотонна по обе стороны. Таким образом, для любого значения T>2 будет ровно два решения (что нам и нужно), для T<2 ноль решений.
Сделаем замену и получим квадратное уравнение относительно t:
P(t)=t^2+at+a^2-16=0.
Нужно чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня x. А это возможно тогда и только тогда, когда полином P(t) имеет ровно один корень строго больше 2, а остальные корни (если они есть) строго меньше 2.
Первый случай. Пусть корни различны, один строго больше 2, другой строго меньше 2. Так как старший коэффициент параболы положителен, корни будут лежать по разные стороны от точки t=2 тогда и только тогда, когда значение полинома в этой точке отрицательно.
P(2)=2^2+2a+a^2-16=a^2+2a-12.
Требуем P(2)<0:
a^2+2a-12<0 => (a+1)^2-13<0 => a ∈ (-1-sqrt(13);-1+sqrt(13)).
Второй случай. Есть один корень и этот корень строго больше 2.
Найдем дискриминант D=64-3a^2.
Он должен быть равен нулю 64-3a^2=0 => a=+-8/sqrt(3).
При D=0 единственный корень полинома равен t_0=-a/2. Проверим оба значения параметра:
a=8/sqrt(3), t_0=-4/sqrt(3)<2 — не подходит.
a=-8/sqrt(3), t_0=4/sqrt(3)>2 — подходит.
Объединим результат из двух случаев, получим:
a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}
Ответ: a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}.
Для любого x ∈ [a-1;a+1] значение t(x)=2. Это означает, что на данном промежутке несчетное множество решений.
Вне этого отрезка функция строго монотонна по обе стороны. Таким образом, для любого значения T>2 будет ровно два решения (что нам и нужно), для T<2 ноль решений.
Сделаем замену и получим квадратное уравнение относительно t:
P(t)=t^2+at+a^2-16=0.
Нужно чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня x. А это возможно тогда и только тогда, когда полином P(t) имеет ровно один корень строго больше 2, а остальные корни (если они есть) строго меньше 2.
Первый случай. Пусть корни различны, один строго больше 2, другой строго меньше 2. Так как старший коэффициент параболы положителен, корни будут лежать по разные стороны от точки t=2 тогда и только тогда, когда значение полинома в этой точке отрицательно.
P(2)=2^2+2a+a^2-16=a^2+2a-12.
Требуем P(2)<0:
a^2+2a-12<0 => (a+1)^2-13<0 => a ∈ (-1-sqrt(13);-1+sqrt(13)).
Второй случай. Есть один корень и этот корень строго больше 2.
Найдем дискриминант D=64-3a^2.
Он должен быть равен нулю 64-3a^2=0 => a=+-8/sqrt(3).
При D=0 единственный корень полинома равен t_0=-a/2. Проверим оба значения параметра:
a=8/sqrt(3), t_0=-4/sqrt(3)<2 — не подходит.
a=-8/sqrt(3), t_0=4/sqrt(3)>2 — подходит.
Объединим результат из двух случаев, получим:
a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}
Ответ: a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}.
❤4
Математика с нуля
Пусть t(x)=|x-a-1|+|x-a+1|. Геометрически на вещественной прямой эта сумма расстояний от переменной точки х до фиксированных точек a+1 и a-1. Расстояние между этими точками равно 2. В силу кусочно-линейного анализа, получим, что минимум этой функции достигается…
мб кому-то понятнее так будет
❤2