Поток Риччи как градиентный поток.

Поток Риччи, представленный Ричардом Гамильтоном, это уравнение эволюции для римановой метрики g_ij:
d/dt g_ij(t) = -2R_ij (1.1)

Однако работать с ним напрямую довольно сложно в связи с возможными топологическими проблемами.
Для их обхода российский математик Григорий Перельман предложил модифицировать поток Риччи. Он ввёл функционал F (1.2), который зависел от метрики g_ij и некоторой калибровочной функции f. Проварьировав этот функционал (1.3) и зафиксировав меру dm = e^(-f)dV (интеграл по dm = const), Перельман получил выражение, в точности совпадающее с L2-произведением тензоров второго ранга. Одним из них была вариация метрики v^ij, а вторым тензор (R_ij + (Hess f)_ij).
Таким образом, полученный тензор является L2-градиентом функционала F, а калибровочная функция f определяется как ln(dV/dm).

Итак, мы получаем градиентный поток:
d/dt g_ij(t) = -2(R_ij + (Hess f)_ij) (1.4)

Вспоминая, что Hess f есть удвоенная производная Ли от метрики g вдоль градиента f, полученное уравнение можно записать так:
dg/dt = -2Ric - L_{grad f}(g) (1.5), где Ric - тензор Риччи, а L - производная Ли.
Так как производная Ли порождает семейство диффеоморфизмов, то данное уравнение - это поток Риччи, у которого смещается система координат метрики. Сама деформация неотличима от той, которая получается за счёт обычного потока Риччи, однако его градиентная версия технически удобнее. С помощью него доказывается отсутствие ряда проблем, которые предположительно имел этот поток.


Источник: G. Perelman "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications" (11 November 2002).

Теперь студент мехмата МГУ! 🌟