Задача от С. Кузнецова
Верно ли, что в канторовом множестве есть всюду плотное подмножество гомеоморфное Q?
Верно ли, что в канторовом множестве есть всюду плотное подмножество гомеоморфное Q?
❤3🤮2💩1
Не очень сложная задача с древней ММО.
На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.
На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.
❤6
Смешное утверждение, если кто-то придумает доказательство без индукции, объясняющее почему так происходит будет здорово.
Есть n видов пар скобок - открывающиеся и закрывающиеся.
Докажите что для любой произвольной скобочной последовательности S минимальное число скобок, нужное чтобы дополнить S(скобки можно вставлять в начало, конец и между уже выписанных скобок) до правильной скобочной последовательности, равно минимальному числу скобок, которое нужно удалить из S чтобы получить правильную скобочную последовательность.
Есть n видов пар скобок - открывающиеся и закрывающиеся.
Докажите что для любой произвольной скобочной последовательности S минимальное число скобок, нужное чтобы дополнить S(скобки можно вставлять в начало, конец и между уже выписанных скобок) до правильной скобочной последовательности, равно минимальному числу скобок, которое нужно удалить из S чтобы получить правильную скобочную последовательность.
❤9
Красная точка - точка велосипедистов зеленых окружностей (для прямых через оранжевую точку). Тогда красные отрезки равны.
Я это замечательное утверждение не знал, рассказал его мне @AndrewShishko.
Я это замечательное утверждение не знал, рассказал его мне @AndrewShishko.
❤11
#разминка
Покажите, что локальное кольцо не может быть представлено в виде прямого произведения нескольких ненулевых колец.
P.s. под кольцом подразумевается ассоциативное, коммутативное с единицей.
Покажите, что локальное кольцо не может быть представлено в виде прямого произведения нескольких ненулевых колец.
P.s. под кольцом подразумевается ассоциативное, коммутативное с единицей.
❤3
Геометрия_2025:2026_9класс.pdf
121.3 KB
В этом году я вёл кружок по геометрии для 9 классов в Л2Ш, поэтому прилагаю файлик со всеми листиками.
Я старался убирать опечатки, но скорее всего они там все еще есть.
Я старался убирать опечатки, но скорее всего они там все еще есть.
❤🔥19
#задача
Пусть V - конечномерное пространство над алгебраически замкнутыми полем.
Опишите с точностью до матричного сопряжения
(a) Нильпотентные операторы, имеющие конечное число инвариантных подпространств.
(б) Пары коммутирующих нильпотентных операторов, имеющих конечное число общих инвариантных подпространств.
Пусть V - конечномерное пространство над алгебраически замкнутыми полем.
Опишите с точностью до матричного сопряжения
(a) Нильпотентные операторы, имеющие конечное число инвариантных подпространств.
(б) Пары коммутирующих нильпотентных операторов, имеющих конечное число общих инвариантных подпространств.
❤6😭2
#разминка
Пусть R - ассоциативное кольцо с 1. Докажите, что если число элементов R является квадртом простого числа, то R коммутативное.
Пусть R - ассоциативное кольцо с 1. Докажите, что если число элементов R является квадртом простого числа, то R коммутативное.
Forwarded from Математическая свалка Сепы (Sergei)
Claude Fable построил контрпример к гипотезе Якобиана.
Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение
ℂ^n → ℂ^n,
определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение.
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture
Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году.
Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом.
https://alpo.ge/
20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable:
https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением:
(
(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) ,
y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) ,
2 x - 3 x^2 y - x^3 z
)
Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).
Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение
ℂ^n → ℂ^n,
определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение.
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture
Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году.
Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом.
https://alpo.ge/
20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable:
https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением:
(
(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) ,
y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) ,
2 x - 3 x^2 y - x^3 z
)
Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).
❤7
ЛМШ2026.pdf
357.4 KB
Закончилась летняя школа Л2Ш. Выкладываю мои листики и матбой, который мы составили 9 классам.
❤🔥8🔥2
#Задача
Докажите, что любую обратимую матрицу над замкнутым полем можно представить в виде произведения двух диагонализуемых матриц.
Докажите, что любую обратимую матрицу над замкнутым полем можно представить в виде произведения двух диагонализуемых матриц.
Forwarded from Фулл и точка
#ЮМТ
Начался Южный математический турнир ☀️ Как обычно, мы будем держать вас в курсе событий 🔥
Сегодня в варианте командной олимпиады старших было целых четыре геометрии 📐 Две из них — классические: та, что попроще авторства Чуйко Александра в обработке Павла Александровича, та, что посложнее авторства Владимира Конышева.
Задача. Дан четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, диагонали которого пересекаются в точке 𝐾. Точка 𝑃 такова, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑃𝐶𝐷 = 90°. Точка 𝑄 такова, что ∠𝐴𝐵𝑄 = ∠𝐶𝐷𝑄 = 90°. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐵 и 𝐶𝐾𝐷, повторно пересекаются на прямой 𝑃𝑄.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечены основания биссектрис из углов 𝐵, 𝐶 — 𝐿𝑏, 𝐿𝑐 соответственно. Пусть 𝑙𝑐 — прямая, являющаяся отражением прямой 𝐴𝐶 относительно 𝐵𝐿𝑏, аналогично определим 𝑙𝑏. Пусть 𝐾 — точка пересечения 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐. Точки 𝑂, 𝐼 — центры описанной и вписанной окружностей треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Докажите, что прямые 𝐴𝐾, 𝐿𝑏𝐿𝑐, 𝑂𝐼 пересекаются в одной точке или параллельны.
Начался Южный математический турнир ☀️ Как обычно, мы будем держать вас в курсе событий 🔥
Сегодня в варианте командной олимпиады старших было целых четыре геометрии 📐 Две из них — классические: та, что попроще авторства Чуйко Александра в обработке Павла Александровича, та, что посложнее авторства Владимира Конышева.
Задача. Дан четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, диагонали которого пересекаются в точке 𝐾. Точка 𝑃 такова, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑃𝐶𝐷 = 90°. Точка 𝑄 такова, что ∠𝐴𝐵𝑄 = ∠𝐶𝐷𝑄 = 90°. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐵 и 𝐶𝐾𝐷, повторно пересекаются на прямой 𝑃𝑄.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечены основания биссектрис из углов 𝐵, 𝐶 — 𝐿𝑏, 𝐿𝑐 соответственно. Пусть 𝑙𝑐 — прямая, являющаяся отражением прямой 𝐴𝐶 относительно 𝐵𝐿𝑏, аналогично определим 𝑙𝑏. Пусть 𝐾 — точка пересечения 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐. Точки 𝑂, 𝐼 — центры описанной и вписанной окружностей треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Докажите, что прямые 𝐴𝐾, 𝐿𝑏𝐿𝑐, 𝑂𝐼 пересекаются в одной точке или параллельны.
❤🔥3