【招聘】【零一万物】好多 [内推]岗位,有需要可以看看,已经有岗位列表,岗位要求看链接详情
公司大量内推名额,可以看看,欢迎
零一万物社招内推码: UKM9Q1D
投递链接: https://01ai.jobs.feishu.cn/s/l8r-AeMeB-Y
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via LINUX DO - 最新话题 (author: xiaovin)
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一个无聊的小玩意 来看小姐姐
github.com
GitHub - IIIStudio/Copy-B
通过在 GitHub 上创建帐户来为 IIIStudio/Copy-B 开发做出贡献。
Cloud Native Build
IIIStudio/HTML/Copy-B · Cloud Native Build
基于 Docker 生态,对环境、缓存、插件进行抽象,通过声明式的语法,帮助开发者以更酷的方式构建软件。
https://iiistudio.github.io/Copy-B/
测试需要的图片链接:https://p.sda1.dev/27/08b7a12cf007824dedfe175d0a1224ef/merged_image.jpg
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 绝无此事)
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权重3导航网站收入linuxdo大佬们的站。希望投稿,输入标题和网址,自动获取内容
这个站也是跌跌撞撞的完成了全面改造,虽然还有点丑,还有些布局上的bug,但是能用了,真的感谢code送的年卡,真心体会到了claude的牛逼之处,当然对于网站布局上也有些缺陷,总体是搞定了,现在回馈下各位佬友
做新站的朋友,可以来提交你的网站,只要不是特别盈利性质的和违法的就行,咱们的翻墙的公益别申请哈。
具体格式
1.标题(这里需要同时在评论下方告诉我这是佬友的站)
2.网址(填网址后,分析下就行了,你觉得不好,可以适当修改下)
3.分类(选一个合适的分类,如果没得选就直接选择linuxdo,个人博客就选linuxdo)
感谢大家,这个帖子一直有效
申请地址:https://93665.xin/tougao
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via LINUX DO - 最新话题 (author: naive)
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这个站也是跌跌撞撞的完成了全面改造,虽然还有点丑,还有些布局上的bug,但是能用了,真的感谢code送的年卡,真心体会到了claude的牛逼之处,当然对于网站布局上也有些缺陷,总体是搞定了,现在回馈下各位佬友
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感谢大家,这个帖子一直有效
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来个小小的讨论:假如说当claude无法使用,你的替代方案是什么?
rt
可以看的出,a社多少有点恶心人了
国产模型目前也没有出现能替代sonnet的
你的备用选择是什么呢?
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 宙斯)
rt
可以看的出,a社多少有点恶心人了
国产模型目前也没有出现能替代sonnet的
你的备用选择是什么呢?
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 宙斯)
把最常用的工作流用claude code一键批量化了,舒服的雅痞,大家一定要试一下自动化!
背景:
除了公司业务外,自己经常写前端小项目,个人的,帮别人的,当然大部分都不赚钱
问题:
对于没有ui能力的程序员来说,即使设定好了很详细的设计风格,加上目前写前端最好看的cc,还是得跑很多次才有满意的结果,于是每次我都跑10到20次,然后再选一个好看的拿来用。
于是:
刚好国庆假期有空,就试一下把这个过程自动化,没想到比我想的简单的太多了,cc有无头模式,hooks能力也极强,可以在很多个阶段运行任何自定义的js脚本,这点比codex好太多了,只花了一天时间就写出来了极简版本的一键批量工作流,现在只需要点几下鼠标就直接帮我自动运行了,直接加了一两百个任务,让它自动帮我跑,跑完用playwright精准截图组件区域,如果有特殊布局的就先用iframe包裹一下再截图,最终我只需要根据截图,就可以选一个最好看的了
如果大家有能自动化的部分,一定要尝试下自动化,之前每天我花在打开cc cli、修改prompt、复制prompt、等待运行的时间基本都超过了一个小时,而且零零碎碎地把自己的很多大块时间都分割了,浪费了不少精力。
能自动化之后把自己的常用工作流慢慢全都搬上去,极大解放生产力!
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via LINUX DO - 最新话题 (author: etweoi)
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背景:
除了公司业务外,自己经常写前端小项目,个人的,帮别人的,当然大部分都不赚钱
问题:
对于没有ui能力的程序员来说,即使设定好了很详细的设计风格,加上目前写前端最好看的cc,还是得跑很多次才有满意的结果,于是每次我都跑10到20次,然后再选一个好看的拿来用。
于是:
刚好国庆假期有空,就试一下把这个过程自动化,没想到比我想的简单的太多了,cc有无头模式,hooks能力也极强,可以在很多个阶段运行任何自定义的js脚本,这点比codex好太多了,只花了一天时间就写出来了极简版本的一键批量工作流,现在只需要点几下鼠标就直接帮我自动运行了,直接加了一两百个任务,让它自动帮我跑,跑完用playwright精准截图组件区域,如果有特殊布局的就先用iframe包裹一下再截图,最终我只需要根据截图,就可以选一个最好看的了
如果大家有能自动化的部分,一定要尝试下自动化,之前每天我花在打开cc cli、修改prompt、复制prompt、等待运行的时间基本都超过了一个小时,而且零零碎碎地把自己的很多大块时间都分割了,浪费了不少精力。
能自动化之后把自己的常用工作流慢慢全都搬上去,极大解放生产力!
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via LINUX DO - 最新话题 (author: etweoi)
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关于team额度问题,我有一个问题就是,如果我加入team之后使用pro模型或者codex,用到上限了,这个额度是跟着车位呢,还是跟着账号,我能不能通过跳车然后重新上车来刷新额度
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 哆啦B梦)
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 哆啦B梦)
这次 真正的勋章墙! 感谢猫猫和哈基米
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时代变了! 🫠
40000token终于拿下
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 我是 林可欣!)
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从开设个人勋章墙,记录“不错的话题”及相应评价报告(无链接)继续讨论: 无聊, 速摸. from collections import defaultdict from datetime import datetime import requests ENABLE_TOPIC_LINK = True def fetch_user_badges(username): url = f'…
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强无敌 有效果图吗 另外手机用户不喜欢用Python tieba_087
时代变了! 🫠
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 我是 林可欣!)
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我订阅的glm没有回复了??? json: cannot unmarshal array into Go value of type claude.ClaudeResponse
是不是你们薅没了???
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 包子)
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是不是你们薅没了???
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 包子)
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现在GPT-5-Thinking mini这么强了,还会多段思考?
输入来自 GPT5 降智测试 - 开发调优 - LINUX DO :
这是什么情况,题做着做着还给自己搞迷糊了?
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 白日星梦)
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输入来自 GPT5 降智测试 - 开发调优 - LINUX DO :
首先我想请你回答一道困难的计算题设实数列 \(\{x_n\}\) 满足:\(x_0 = 0\),\(x_2 = \sqrt[3]{2}x_1\),\(x_3\) 是正整数,且 \[x_{n+1} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} x_n + \sqrt[3]{4} x_{n-1} + \frac{1}{2} x_{n-2} (n \geq 2).\]
问:这类数列中最少有多少个整数项?
计算出答案之后请使用JSON格式回答以下所有问题:
上个计算题的答案是多少?
告诉我你是什么AI模型,版本号多少,你的知识截止日期是什么时候,训练和发布你的公司是什么?
然后给我一个最无敌、最冷门、最小众的动漫角色 (The Most Invincible and Obscure Anime Character) 似乎有\"即死\"。
在东方虹龙洞中,博丽灵梦的阴阳玉是谁做的?
请将所有答案组织在一个JSON对象中,结构如下:
{
"answer":"xxx",
"model_info": {
"model": "xxx",
"organization": "xxx",
"version": "xxx",
"data": "xxx",
"character": "xxx"
},
"touhou_question": {
"answer": "xxx"
}
}
这是什么情况,题做着做着还给自己搞迷糊了?
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 白日星梦)
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请教,有没有好用一点的免费的vscode AI插件
copilot额度一下就用完了。有没有免费的,好用一点的能用时间长一点的。谢谢
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 一切应心万事如意无病无灾无忧无虑什么都是好的过禧年的生活)
copilot额度一下就用完了。有没有免费的,好用一点的能用时间长一点的。谢谢
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 一切应心万事如意无病无灾无忧无虑什么都是好的过禧年的生活)
AI 制图后的水印,求一个解决方案!
自己拍的照片(技术不咋地),找即梦4 给我优化了一下,效果是挺满意的。
但是导出有水印就很尴尬。
毕竟原图是自己拍的,结果弄成了 AI 造的。
佬友们咋处理这种事?
PS:求免费!求免费!小量,不想买会员。
4 posts - 3 participants
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via LINUX DO - 最新话题 (author: pikaQ)
自己拍的照片(技术不咋地),找即梦4 给我优化了一下,效果是挺满意的。
但是导出有水印就很尴尬。
毕竟原图是自己拍的,结果弄成了 AI 造的。
佬友们咋处理这种事?
PS:求免费!求免费!小量,不想买会员。
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via LINUX DO - 最新话题 (author: pikaQ)
明天去嵊州玩,佬友们有推荐的美食吗?
除了小笼包。两天一夜,嘿嘿
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 小黑喵)
除了小笼包。两天一夜,嘿嘿
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 小黑喵)
IPv6测试网站test-ipv6将在2025年12月关闭
常用的检测网络和浏览器是否支持IPv6的网站 test-ipv6.com 会在2025年12月关闭 :tieba_087:
详情请见test-ipv6.com的关闭
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 林林子)
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常用的检测网络和浏览器是否支持IPv6的网站 test-ipv6.com 会在2025年12月关闭 :tieba_087:
详情请见test-ipv6.com的关闭
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via LINUX DO - 最新话题 (author: 林林子)
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现在有没有支持调用Qwen-Image-Edit的AI客户端?
rt,最近打算试试Qwen-Image-Edit,发现CherryStudio的绘图里面无法调用,尝试在对话里面设置模型为Qwen-Image-Edit也不行,修改端点,强制使用/v1/image/generation也不行,加自定义请求头也不行。
来问问佬友们有没有支持Qwen-Image-Edit的AI本地客户端 :tieba_087:
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via LINUX DO - 最新话题 (author: Pomelo_neko)
rt,最近打算试试Qwen-Image-Edit,发现CherryStudio的绘图里面无法调用,尝试在对话里面设置模型为Qwen-Image-Edit也不行,修改端点,强制使用/v1/image/generation也不行,加自定义请求头也不行。
来问问佬友们有没有支持Qwen-Image-Edit的AI本地客户端 :tieba_087:
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via LINUX DO - 最新话题 (author: Pomelo_neko)
請教怎樣在app上用外國的大模型
想弄個app做給自己及朋友用,加入openai , gemini 等聲音影像等多模態模型, 但中港網用不到嘛(除非用梯子), 想問大家如何比較方便去處理這個問題呢
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via LINUX DO - 最新话题 (author: Marklolo)
想弄個app做給自己及朋友用,加入openai , gemini 等聲音影像等多模態模型, 但中港網用不到嘛(除非用梯子), 想問大家如何比較方便去處理這個問題呢
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via LINUX DO - 最新话题 (author: Marklolo)
该回应是很久以前创建的,它不能再被修改或移除。
这种情况是为什么,好像是第二次了
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via LINUX DO - 最新话题 (author: (=・ω・=))
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这种情况是为什么,好像是第二次了
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[日拱一卒笔记篇5-2]2025/10/04
[ 🚨笔记并非抄书,多为个人想法,且只会记录自己认为需要复习的内容,请勿盲目当作教材使用🚨]
线性代数第四章(课本阅读笔记)
第四章 线性方程组
1. 线性方程组的三种形式
● ① 普通形式
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}
● 齐次方程:b_1 = b_2 = \cdots = b_m = 0 (右端全为0);
● 非齐次方程:b_1,\dots,b_m 不全为0(右端至少一个非0)。
● ② 矩阵形式(AX=β)
设系数矩阵
A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix},
变量向量
X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},
常数项向量
β=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix},
方程组简记为:
AX = β
注:解方程组时,初等变换等价于对增广矩阵 (A|β) 做初等行变换。
● ③ 向量形式
记列向量
\alpha_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix},\quad \alpha_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix},\quad\dots,\quad \alpha_n=\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix},
常数项向量
β=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix},
方程组可表示为:
x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = β
方程组有无解,等价于 \beta 是否能被 \alpha_{1},...,\alpha_{n} 线性表示.
2. 方程组有无解的判定方法
● 对齐次方程组 AX=0 ● 若 r(A)=n (列满秩),则仅有零解; ● 若 r(A)<n ,则 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性相关,存在不全为0的 x_i 使得
x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=0,即有非零解。
● 对非齐次方程组 AX=β ● 若 r(A) \neq r(\overline{A}) ,则 β 不能被 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性表示,无解; ● 若 r(A)=r(\overline{A}) ,则 β 能被 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性表示,有解: 1. 若 r(A)=r(\overline{A})=n,则 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性无关,β 表示唯一,唯一解; 2. 若 r(A)=r(\overline{A})<n,则 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性相关,β 表示不唯一,无穷多解。
3. 线性方程组解的结构与性质
● ① 齐次解的性质
若 ξ_1,\dots,ξ_s 是 AX=0 的解,则其线性组合
k_1ξ_1+\cdots+k_sξ_s
仍是 AX=0 的解(齐次解空间对线性组合封闭)。
● ② 非齐次解的性质
设 η 是 AX=β 的特解,ξ 是 AX=0 的解,则
ξ+η
是 AX=β 的解(非齐次解 = 齐次解 + 特解)。
● ③ 解的线性组合
若 η_1,\dots,η_s 是 AX=β 的解,令
η=k_1η_1+\cdots+k_sη_s,
则:
● 当 k_1+\cdots+k_s=0 时,η 是 AX=0 的解;
● 当 k_1+\cdots+k_s=1 时,η 是 AX=β 的解。
4. 齐次方程组的解法及基础解系
● ① 基础解系的定义
齐次方程组 AX=0 的基础解系是满足以下条件的解向量组 ξ_1,\dots,ξ_s:
1. 是 AX=0 的解;
2. 线性无关;
3. 能表示 AX=0 的所有解(极大无关组)。
注:基础解系的个数 $$s=n-r(A)$$($$n$$ 为变量数,$$r(A)$$ 为系数矩阵秩)。
● ② 求齐次通解的步骤 1. 写出系数矩阵 A; 2. 将 A 化为 最简行阶梯形; 3. 确定 r(A),找出 自由变量(个数为 $n-r(A)$); 4. 令每个自由变量为1,其余为0,得到基础解系 ξ_1,\dots,ξ_{n-r(A)}; 5. 通解为基础解系的线性组合:
X = k_1ξ_1 + k_2ξ_2 + \cdots + k_{n-r(A)}ξ_{n-r(A)}, \quad (k_1,\dots,k_{n-r(A)} \in \mathbb{R})
5. 非齐次方程组的解法
● 求非齐次通解的步骤 1. 写出增广矩阵 \overline{A}=(A|β),化为最简行阶梯形; 2. 判断解的存在性( r(A)=r(\overline{A}) 才有解); 3. 确定自由变量(个数为 n-r(A) ),解出通解结构; 4. 令所有自由变量为0,得到 特解 η; 5. 求对应齐次方程组 AX=0 的基础解系 ξ_1,\dots,ξ_{n-r(A)}; 6. 通解为“齐次通解 + 特解”:
X = k_1ξ_1 + \cdots + k_{n-r(A)}ξ_{n-r(A)} + η, \quad (k_1,\dots,k_{n-r(A)} \in \mathbb{R})
6.同解与公共解
公共解
● 定义:若向量 \xi 同时满足齐次方程组 AX=0 和 BX=0,则称 \xi 为两方程组的公共解(即 \xi 是 AX=0 的解,也是 BX=0 的解)。
● 求法:
1. 联立方程组法:公共解即为联立方程组的解:
\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}X = 0
2. 代入通解法:若 BX=0 的通解为
k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_s\xi_s
( \xi_1,\dots,\xi_s 为 BX=0 的基础解系),将其代入 AX=0,求出常数 k_1,\dots,k_s 的约束关系,再回代得公共解;
3. 通解相等法:令 AX=0 和 BX=0 的通解相等:
k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r(A)}\xi_{n-r(A)} = l_1\eta_1+\cdots+l_{n-r(B)}\eta_{n-r(B)}
解出任意常数需满足的条件,代入任一通解得公共解。
同解方程组
● 定义:若 AX=0 和 BX=0 的解完全相同(即 AX=0 的解都是 BX=0 的解,且 BX=0 的解都是 AX=0 的解),则称两方程组同解。
● 性质:
1. 同解方程组的基础解系一定是等价向量组(可互相线性表示);
2. 行等价的矩阵(初等行变换可互相转化)对应的方程组必同解(行变换不改变解的结构)。
● 同解的条件:
1. 必要条件:若 AX=0 和 BX=0 同解,则:
r(A) = r(B)
(理由:解空间维度相等,即 n - r(A) = n - r(B) )。
2. 部分条件(常用推论):
● 若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,则 r(A) \geq r(B)
(理由:AX=0 的解空间维度 n - r(A) \leq BX=0 的解空间维度 n - r(B) ,故 r(A) \geq r(B) )。
● 若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,且 r(A) = r(B),则 AX=0 和 BX=0 必同解
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线性代数第四章(课本阅读笔记)
第四章 线性方程组
1. 线性方程组的三种形式
● ① 普通形式
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}
● 齐次方程:b_1 = b_2 = \cdots = b_m = 0 (右端全为0);
● 非齐次方程:b_1,\dots,b_m 不全为0(右端至少一个非0)。
● ② 矩阵形式(AX=β)
设系数矩阵
A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix},
变量向量
X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},
常数项向量
β=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix},
方程组简记为:
AX = β
注:解方程组时,初等变换等价于对增广矩阵 (A|β) 做初等行变换。
● ③ 向量形式
记列向量
\alpha_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix},\quad \alpha_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix},\quad\dots,\quad \alpha_n=\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix},
常数项向量
β=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix},
方程组可表示为:
x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = β
方程组有无解,等价于 \beta 是否能被 \alpha_{1},...,\alpha_{n} 线性表示.
2. 方程组有无解的判定方法
● 对齐次方程组 AX=0 ● 若 r(A)=n (列满秩),则仅有零解; ● 若 r(A)<n ,则 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性相关,存在不全为0的 x_i 使得
x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=0,即有非零解。
● 对非齐次方程组 AX=β ● 若 r(A) \neq r(\overline{A}) ,则 β 不能被 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性表示,无解; ● 若 r(A)=r(\overline{A}) ,则 β 能被 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性表示,有解: 1. 若 r(A)=r(\overline{A})=n,则 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性无关,β 表示唯一,唯一解; 2. 若 r(A)=r(\overline{A})<n,则 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性相关,β 表示不唯一,无穷多解。
3. 线性方程组解的结构与性质
● ① 齐次解的性质
若 ξ_1,\dots,ξ_s 是 AX=0 的解,则其线性组合
k_1ξ_1+\cdots+k_sξ_s
仍是 AX=0 的解(齐次解空间对线性组合封闭)。
● ② 非齐次解的性质
设 η 是 AX=β 的特解,ξ 是 AX=0 的解,则
ξ+η
是 AX=β 的解(非齐次解 = 齐次解 + 特解)。
● ③ 解的线性组合
若 η_1,\dots,η_s 是 AX=β 的解,令
η=k_1η_1+\cdots+k_sη_s,
则:
● 当 k_1+\cdots+k_s=0 时,η 是 AX=0 的解;
● 当 k_1+\cdots+k_s=1 时,η 是 AX=β 的解。
4. 齐次方程组的解法及基础解系
● ① 基础解系的定义
齐次方程组 AX=0 的基础解系是满足以下条件的解向量组 ξ_1,\dots,ξ_s:
1. 是 AX=0 的解;
2. 线性无关;
3. 能表示 AX=0 的所有解(极大无关组)。
注:基础解系的个数 $$s=n-r(A)$$($$n$$ 为变量数,$$r(A)$$ 为系数矩阵秩)。
● ② 求齐次通解的步骤 1. 写出系数矩阵 A; 2. 将 A 化为 最简行阶梯形; 3. 确定 r(A),找出 自由变量(个数为 $n-r(A)$); 4. 令每个自由变量为1,其余为0,得到基础解系 ξ_1,\dots,ξ_{n-r(A)}; 5. 通解为基础解系的线性组合:
X = k_1ξ_1 + k_2ξ_2 + \cdots + k_{n-r(A)}ξ_{n-r(A)}, \quad (k_1,\dots,k_{n-r(A)} \in \mathbb{R})
5. 非齐次方程组的解法
● 求非齐次通解的步骤 1. 写出增广矩阵 \overline{A}=(A|β),化为最简行阶梯形; 2. 判断解的存在性( r(A)=r(\overline{A}) 才有解); 3. 确定自由变量(个数为 n-r(A) ),解出通解结构; 4. 令所有自由变量为0,得到 特解 η; 5. 求对应齐次方程组 AX=0 的基础解系 ξ_1,\dots,ξ_{n-r(A)}; 6. 通解为“齐次通解 + 特解”:
X = k_1ξ_1 + \cdots + k_{n-r(A)}ξ_{n-r(A)} + η, \quad (k_1,\dots,k_{n-r(A)} \in \mathbb{R})
6.同解与公共解
公共解
● 定义:若向量 \xi 同时满足齐次方程组 AX=0 和 BX=0,则称 \xi 为两方程组的公共解(即 \xi 是 AX=0 的解,也是 BX=0 的解)。
● 求法:
1. 联立方程组法:公共解即为联立方程组的解:
\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}X = 0
2. 代入通解法:若 BX=0 的通解为
k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_s\xi_s
( \xi_1,\dots,\xi_s 为 BX=0 的基础解系),将其代入 AX=0,求出常数 k_1,\dots,k_s 的约束关系,再回代得公共解;
3. 通解相等法:令 AX=0 和 BX=0 的通解相等:
k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r(A)}\xi_{n-r(A)} = l_1\eta_1+\cdots+l_{n-r(B)}\eta_{n-r(B)}
解出任意常数需满足的条件,代入任一通解得公共解。
同解方程组
● 定义:若 AX=0 和 BX=0 的解完全相同(即 AX=0 的解都是 BX=0 的解,且 BX=0 的解都是 AX=0 的解),则称两方程组同解。
● 性质:
1. 同解方程组的基础解系一定是等价向量组(可互相线性表示);
2. 行等价的矩阵(初等行变换可互相转化)对应的方程组必同解(行变换不改变解的结构)。
● 同解的条件:
1. 必要条件:若 AX=0 和 BX=0 同解,则:
r(A) = r(B)
(理由:解空间维度相等,即 n - r(A) = n - r(B) )。
2. 部分条件(常用推论):
● 若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,则 r(A) \geq r(B)
(理由:AX=0 的解空间维度 n - r(A) \leq BX=0 的解空间维度 n - r(B) ,故 r(A) \geq r(B) )。
● 若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,且 r(A) = r(B),则 AX=0 和 BX=0 必同解
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[日拱一卒笔记篇5-2]2025/10/04 [ 🚨笔记并非抄书,多为个人想法,且只会记录自己认为需要复习的内容,请勿盲目当作教材使用🚨] 线性代数第四章(课本阅读笔记) 第四章 线性方程组 1. 线性方程组的三种形式 ● ① 普通形式 \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1…
(理由:解空间维度相同且包含,故解空间完全相等)。
● 要证列数相同的 A 和 B 秩相等,可证 AX=0和BX=0 是同解方程组。
● 行数相同,可先转置,证明 A^{T}X=0和B^{T}X=0 是同解方程组。
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● 要证列数相同的 A 和 B 秩相等,可证 AX=0和BX=0 是同解方程组。
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