Кто может поведать в каких таких случаях у задачи аж три автора получается (записывают троих в авторство)? Ладно ещё можно понять, когда вместе с кем-то сюжет раскрутил, но втроём...
Forwarded from Математика для олдов
Также напоминаю, что сегодня в 17:00 по МСК я проведу небольшую лекцию по теме:
"Простые числа вида p²+4, где p - простое число". На этой лекции мы узнаем об этих числах чуть больше, поймем, почему брать простое число p выгоднее , чем составное, и порешаем несколько интересных задач на эту тему.
"Простые числа вида p²+4, где p - простое число". На этой лекции мы узнаем об этих числах чуть больше, поймем, почему брать простое число p выгоднее , чем составное, и порешаем несколько интересных задач на эту тему.
Год назад я придумал доказательство такой задачи через выход в пространство:
Если в четырёхугольнике ABCD выполнено AB²+BC²=CD²+DA², то середина M диагонали АС равноудалена от вершин В и D.
Восставим перпендикуляры к плоскости (ABCD) в точках B и D. На них отметим точки P и Q по одну сторону от плоскости, такие что углы APC и AQC равны по 90°. Запишем теорему Пифагора для треугольников APB и CPB: AP²=AB²+PB², CP²=BC²+BP², а также из теоремы Пифагора для треугольника APC получаем, что AP²+PC²=AC². Итого имеем: AC²=AB²+BC²+2PB². Аналогично получаем соотношение AC²=CD²+AD²+2QD², значит AB²+BC²+2PB²=CD²+AD²+2QD² => PB=QD; PM=MQ=AC/2. Из всего этого следует равенство прямоугольных треугольников PMB и QMD, а стало быть BM=MD.
Как вам, встречали такое раньше?
Также это можно доказать, подумав, чем является ГМТ, у которых фиксирована сумма квадратов расстояний до двух данных точек или используя формулу длины медианы.
Если в четырёхугольнике ABCD выполнено AB²+BC²=CD²+DA², то середина M диагонали АС равноудалена от вершин В и D.
Восставим перпендикуляры к плоскости (ABCD) в точках B и D. На них отметим точки P и Q по одну сторону от плоскости, такие что углы APC и AQC равны по 90°. Запишем теорему Пифагора для треугольников APB и CPB: AP²=AB²+PB², CP²=BC²+BP², а также из теоремы Пифагора для треугольника APC получаем, что AP²+PC²=AC². Итого имеем: AC²=AB²+BC²+2PB². Аналогично получаем соотношение AC²=CD²+AD²+2QD², значит AB²+BC²+2PB²=CD²+AD²+2QD² => PB=QD; PM=MQ=AC/2. Из всего этого следует равенство прямоугольных треугольников PMB и QMD, а стало быть BM=MD.
Как вам, встречали такое раньше?
Также это можно доказать, подумав, чем является ГМТ, у которых фиксирована сумма квадратов расстояний до двух данных точек или используя формулу длины медианы.