На третьей завершающей встрече мы обзорно рассмотрим операторы Теплица с почти-периодическими символами и обсудим способы построения их обобщенного индекса. Также кратко обсудим К-теоретический подход к интерпретации и обобщению результатов об индексе операторов Теплица.

Доклад посвящен устойчивости основных свойств линейных операторов. В докладе будут рассмотрены устойчивость замкнутости, ограниченности и обратимости. Кроме того мы изучим устойчивость таких свойств как ограниченная обратимость и относительная компактность операторов. Будет затронут вопрос о возмущении спектра при относительно ограниченном возмущении

Функциональная ренормгруппа (fRG) является эффективным инструментом для работы с критическими и непертурбативными явлениями. В настоящем докладе планируется рассказать следующее:
1) напоминание глобального и инвариантного изложения классической механики;
2) описание языка квантовой механики, параллельное изложению классической механики;
3) переход к формулировке интеграла по путям и вывод из неё уравнения Веттриха, задающее fRG;
4) изложение идеи fRG, описание классических приложений и реализаций;
5) описание проекта приложения fRG к спектральной геометрии, предполагаемой связи с семантикой естественных языков.

Функциональная ренормгруппа (fRG) является эффективным инструментом для работы с критическими и непертурбативными явлениями. В продолжении доклада планируется рассказать следующее:
1) переход к формулировке интеграла по путям и вывод из неё уравнения Веттриха, задающее fRG;
2) изложение идеи fRG, описание классических приложений и реализаций;
3) описание проекта приложения fRG к спектральной геометрии, предполагаемой связи с семантикой естественных языков.

В этот раз мы начнём с рассмотрения некоторых фактов спектральной геометрии и сопряжённых с ними интуиций.
Руководствуясь оными, опишем квантование Березина классических систем и его связь с квантованием Вейля.
Рассмотрим переход к интегралу по путям, из которого получим первопорядкое приближение для эффективного действия, а затем выведем уравнение Веттриха.

В завершение рассмотрим метод локального потенциала для fRG, известные и потенциальные приложения fRG.

В заключительной части доклада будут рассмотрены следующие вопросы.

Мы опишем квантование Березина классических систем и его связь с квантованием Вейля.
Рассмотрим переход к интегралу по путям, из которого получим первопорядковое приближение для эффективного действия, а затем выведем уравнение Веттриха.

В завершение рассмотрим метод локального потенциала для fRG, известные и потенциальные приложения fRG.

Теория структур регулярности — это мощный аналитико-алгебраический аппарат, созданный для придания смысла сингулярным SPDE. Она отправляется от идеи поднять уравнение на уровень формальных символов и разбить процедуру решения на две части:
1) решить поднятое формальное уравнение при помощи теоремы о неподвижной точке в пространстве модельных распределений (которые строятся из формальных символов), снабжённом структурой банахового пространства;
2) построить модель Π, приписывающую каждому формальному символу τ распределение Πτ ∈ S', и опустить решение в S' при помощи теоремы о реконструкции. Первая часть этой программы оказывается полностью аналитической (детерминированной), а вероятностная сосредотачивается в конструкции интерпретирующего отображения Π. Процедура ренормировки описывается алгебраически/комбинаторно на уровне формальных символов.

В лекции я кратко расскажу об основных конструкциях теории, следуя обзору Байёля и Хошино (A tourist's guide to regularity structures, 2020). Все факты, о которых пойдёт речь, можно считать стандартными в рамках теории, и мы не будем касаться тонких технических вопросов. Мы начнём с обсуждения того, почему сингулярные SPDE некорректно определены. Затем сформулируем две мета-теоремы Хайрера — итоговый результат теории, к пониманию которого будем двигаться. Центральная часть лекции будет посвящена тому, как из требования согласованности локальных разложений естественно возникает алгебраическая структура (алгебры Хопфа, комодули), как на ней определяются модели и модельные распределения, и как теорема реконструкции склеивает локальные описания в глобальное распределение. Далее мы обсудим, как сингулярное SPDE переформулируется как задача о неподвижной точке в пространстве модельных распределений и каким образом перенормировка позволяет построить сходящиеся модели и придать смысл решению как семейству, параметризованному конечномерной группой Ли.

Сингулярные стохастические уравнения в частных производных — такие как динамическая Φ⁴₃ из конструктивной теории поля или уравнение KPZ из теории случайного роста интерфейсов — содержат произведения распределений, которые не определены классически. Теория структур регулярности, за которую Мартин Хайрер получил медаль Филдса в 2014 году, строит calculus, адаптированный к таким уравнениям, при помощи алгебр Хопфа, ренормгрупповых методов и многоуровневых оценок Шаудера: тейлоровские разложения заменяются разложениями по декорированным деревьям, а отображение «шум → решение» факторизуется через конечномерный объект — модель, — так что вся вероятность изолируется от анализа.

На второй лекции мы начнём с определения структур регулярности, введём модели и модельные распределения, сформулируем теорему реконструкции, склеивающую распределение из локальных описаний. Затем обсудим операции на модельных распределениях — произведения, производные и, самое главное, оператор 𝒦ᴹ, поднимающий действие функции Грина (∂ₜ − Δ)⁻¹ на уровень джетов (многоуровневые оценки Шаудера), — и покажем, как сингулярное SPDE превращается в задачу о неподвижной точке в банаховом пространстве джетов. Предварительных знаний из первой лекции не требуется — достаточно общего знакомства с PDE и распределениями.

На прошлых лекциях мы определили конкретные структуры регулярности (T, T^+) и модели M = (g, Π) над ними. На этой лекции мы покажем, как использовать этот аппарат для решения сингулярных SPDE. Мы введём пространство модельных распределений D^γ — функций со значениями в T, удовлетворяющих условиям согласованности, обобщающим тейлоровские оценки остатка, — и сформулируем теорему реконструкции Хайрера, которая гарантирует, что такие согласованные семейства локальных разложений единственным образом склеиваются в глобальное распределение. Далее мы определим на D^γ операции произведения, композиции с гладкими функциями, дифференцирования и интегрирования (оператор 𝒦, поднимающий свёртку с функцией Грина на уровень джетов).

Вооружившись этими инструментами, мы поднимем сингулярное SPDE из пространства распределений в пространство модельных распределений и перепишем его как задачу о неподвижной точке. Мы сформулируем теорему существования решения для любой допустимой модели и, что важнее, теорему о непрерывности по модели.

В предыдущих лекциях мы построили аналитический аппарат структур регулярности: конкретные структуры регулярности, модели, модельные распределения, теорему реконструкции, произведения и производные модельных распределений. В заключительной лекции мы завершим построение аппарата и применим его к решению сингулярных SPDE. Мы поднимем оператор Грина (∂ₜ − Δ)⁻¹ на уровень модельных распределений (многоуровневые оценки Шаудера), после чего поднимем само уравнение: исходное SPDE превращается в задачу о неподвижной точке в банаховом пространстве модельных распределений. Мы сформулируем теорему существования и единственности решения и обсудим непрерывность решения как функции модели — мост между аналитической и вероятностной частями теории.

Затем мы перейдём к ренормировке. Канонические модели Mᵋ, построенные из сглаженного шума, расходятся при ε → 0, и необходимо их модифицировать. Мы введём структуру ренормировки — «левый» аналог структуры регулярности, — покажем, как характер k ∈ G⁻ порождает ренормированную модель ᵏM, и завершим мини-курс обсуждением характера BHZ — канонического выбора ренормировки, при котором модели сходятся. Группа ренормировки G⁻_ad параметризует всё семейство сходящихся схем ренормировки и, тем самым, всё семейство решений сингулярного SPDE.