Во второй части рассказа мы перейдем к изучению фредгольмовых операторов Теплица с разрывными и почти-периодическими символами. Мы завершим исследование аналитических формул индекса и наметим К-теоретический подход к обобщению полученных результатов.

На третьей завершающей встрече мы обзорно рассмотрим операторы Теплица с почти-периодическими символами и обсудим способы построения их обобщенного индекса. Также кратко обсудим К-теоретический подход к интерпретации и обобщению результатов об индексе операторов Теплица.

Доклад посвящен устойчивости основных свойств линейных операторов. В докладе будут рассмотрены устойчивость замкнутости, ограниченности и обратимости. Кроме того мы изучим устойчивость таких свойств как ограниченная обратимость и относительная компактность операторов. Будет затронут вопрос о возмущении спектра при относительно ограниченном возмущении

Функциональная ренормгруппа (fRG) является эффективным инструментом для работы с критическими и непертурбативными явлениями. В настоящем докладе планируется рассказать следующее:
1) напоминание глобального и инвариантного изложения классической механики;
2) описание языка квантовой механики, параллельное изложению классической механики;
3) переход к формулировке интеграла по путям и вывод из неё уравнения Веттриха, задающее fRG;
4) изложение идеи fRG, описание классических приложений и реализаций;
5) описание проекта приложения fRG к спектральной геометрии, предполагаемой связи с семантикой естественных языков.

Функциональная ренормгруппа (fRG) является эффективным инструментом для работы с критическими и непертурбативными явлениями. В продолжении доклада планируется рассказать следующее:
1) переход к формулировке интеграла по путям и вывод из неё уравнения Веттриха, задающее fRG;
2) изложение идеи fRG, описание классических приложений и реализаций;
3) описание проекта приложения fRG к спектральной геометрии, предполагаемой связи с семантикой естественных языков.

В этот раз мы начнём с рассмотрения некоторых фактов спектральной геометрии и сопряжённых с ними интуиций.
Руководствуясь оными, опишем квантование Березина классических систем и его связь с квантованием Вейля.
Рассмотрим переход к интегралу по путям, из которого получим первопорядкое приближение для эффективного действия, а затем выведем уравнение Веттриха.

В завершение рассмотрим метод локального потенциала для fRG, известные и потенциальные приложения fRG.

В заключительной части доклада будут рассмотрены следующие вопросы.

Мы опишем квантование Березина классических систем и его связь с квантованием Вейля.
Рассмотрим переход к интегралу по путям, из которого получим первопорядковое приближение для эффективного действия, а затем выведем уравнение Веттриха.

В завершение рассмотрим метод локального потенциала для fRG, известные и потенциальные приложения fRG.

Теория структур регулярности — это мощный аналитико-алгебраический аппарат, созданный для придания смысла сингулярным SPDE. Она отправляется от идеи поднять уравнение на уровень формальных символов и разбить процедуру решения на две части:
1) решить поднятое формальное уравнение при помощи теоремы о неподвижной точке в пространстве модельных распределений (которые строятся из формальных символов), снабжённом структурой банахового пространства;
2) построить модель Π, приписывающую каждому формальному символу τ распределение Πτ ∈ S', и опустить решение в S' при помощи теоремы о реконструкции. Первая часть этой программы оказывается полностью аналитической (детерминированной), а вероятностная сосредотачивается в конструкции интерпретирующего отображения Π. Процедура ренормировки описывается алгебраически/комбинаторно на уровне формальных символов.

В лекции я кратко расскажу об основных конструкциях теории, следуя обзору Байёля и Хошино (A tourist's guide to regularity structures, 2020). Все факты, о которых пойдёт речь, можно считать стандартными в рамках теории, и мы не будем касаться тонких технических вопросов. Мы начнём с обсуждения того, почему сингулярные SPDE некорректно определены. Затем сформулируем две мета-теоремы Хайрера — итоговый результат теории, к пониманию которого будем двигаться. Центральная часть лекции будет посвящена тому, как из требования согласованности локальных разложений естественно возникает алгебраическая структура (алгебры Хопфа, комодули), как на ней определяются модели и модельные распределения, и как теорема реконструкции склеивает локальные описания в глобальное распределение. Далее мы обсудим, как сингулярное SPDE переформулируется как задача о неподвижной точке в пространстве модельных распределений и каким образом перенормировка позволяет построить сходящиеся модели и придать смысл решению как семейству, параметризованному конечномерной группой Ли.

Сингулярные стохастические уравнения в частных производных — такие как динамическая Φ⁴₃ из конструктивной теории поля или уравнение KPZ из теории случайного роста интерфейсов — содержат произведения распределений, которые не определены классически. Теория структур регулярности, за которую Мартин Хайрер получил медаль Филдса в 2014 году, строит calculus, адаптированный к таким уравнениям, при помощи алгебр Хопфа, ренормгрупповых методов и многоуровневых оценок Шаудера: тейлоровские разложения заменяются разложениями по декорированным деревьям, а отображение «шум → решение» факторизуется через конечномерный объект — модель, — так что вся вероятность изолируется от анализа.

На второй лекции мы начнём с определения структур регулярности, введём модели и модельные распределения, сформулируем теорему реконструкции, склеивающую распределение из локальных описаний. Затем обсудим операции на модельных распределениях — произведения, производные и, самое главное, оператор 𝒦ᴹ, поднимающий действие функции Грина (∂ₜ − Δ)⁻¹ на уровень джетов (многоуровневые оценки Шаудера), — и покажем, как сингулярное SPDE превращается в задачу о неподвижной точке в банаховом пространстве джетов. Предварительных знаний из первой лекции не требуется — достаточно общего знакомства с PDE и распределениями.