Если на группе G задана мера μ, то можно определить случайное блуждание на G с приращениями, распределенными согласно μ. Одним из фундаментальных инвариантов такой пары является асимптотическая энтропия случайного блуждания. Она контролирует его "тривиальность на бесконечности". Если на G также задана метрика d, то можно определить скорость сноса. Неформально говоря, это средняя скорость ухода на бесконечность (по метрике d) этого случайного блуждания.

В данном докладе будут разобраны основные шаги доказательства следующего результата Blachère, Haïssinsky и Mathieu: если d - метрика, построенная по функции Грина случайного блуждания, то снос, соответствующий d, равен энтропии случайного блуждания.

Задача существования непрерывных или измеримых селекторов находит приложения во многих областях математики. В рамках доклада будет сформулирована и доказана теорема Майкла о непрерывном селекторе полунепрерывного снизу многозначного отображения. Показаны приложения к задачам о неподвижных точках. Далее будут сформулированы несколько занимательных фактов про аппроксимации.

Данный доклад предполагает 2 части. Во 2-ой будут приведены результаты уже для измеримых селекторов и доказано обобщение Леммы Филиппова о неявной функции.

Операторные системы можно определить как содержащие единицу замкнутые самосопряжённые векторные подпространства в C*-алгебрах. Более абстрактно они определяются как упорядоченные векторные пространства с дополнительной матричной структурой, эта структура позволяет определить вполне положительные отображения между операторными системами. Теория операторных систем является наиболее общей и естественной для описания явления вполне положительности. Кроме того, она задаёт некоммутативный аналог теории пространств афинных функций на выпуклых компактах. Вопросы об операторных системах возникают в теории операторных алгебр и основаниях квантовой механики.

В докладе планируется обсуждение определений и некоторых результатов об операторных системах.

Данный доклад является прямым продолжением доклада о непрерывных селекторах.

В рамках доклада будут кратко сформулированы некоторые результаты об аппроксимации многозначного отображения. Затем будут рассмотрены свойства измеримой многозначной функции с образами в банаховом пространстве. В частности, будут рассмотрены условие Каратеодори и свойство Лузина. Основываясь на вспомогательных утверждениях, мы докажем лемму Филиппова о неявной функции, которая устанавливает существование измеримого селектора. Этот результат имеет множество применений в теории управляемых систем. Кроме того, по запросам слушателей прошлого доклада мы приведем наглядные примеры многозначных отображений.

В докладе будут сформулированы теоремы об операторах вида K(A-iI)^{-1}, где A, K - самосопряженные операторы. Если оператор такого вида является ограниченным (ядерным), то оператор K называется относительно ограниченным (ядерным) возмущением оператора A.

В рамках доклада будут рассмотрены некоторые результаты из работы А. Б. Александрова и В. В. Пеллера (ссылка). Будут приведены условия, при которых оператор является относительно ограниченным (ядерным) возмущением. В частности, будет показана связь с относительно операторно-липшицевеми функциями и двойными операторными интегралами. Далее будут приведены некоторые результаты об α-относительно ограниченных (ядерных) операторах.