​​358. Докажите, что для любого натурального n следующее выражение является целым числом:

#олмат
#алгебра

359. Придумайте натуральное число, делящееся на 14, с как можно меньшей суммой цифр.

#олмат
#тч

​​360. В некоторой стране из каждого города выходит нечётное число дорог. На центральной площади каждого города поднят чёрный или белый флаг. Каждое утро в одном из городов, у которого число соседей с флагами другого цвета больше половины, меняют цвет флага. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

#олмат
#процессы
#hommIIIforever

​​361. Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладет рубашкой вверх, а остальные — картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

#олмат
#фокусы

362. В крайних клетках полоски 1×20 стоят белая и черная шашки. Двое по очереди передвигают свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это возможно (перепрыгивать через шашку нельзя). Проигрывает тот, кто не может двинуть свою шашку. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

363. Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

#олмат
#геом
#раскраски

​​364. (продолжение задачи 361) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

#олмат
#фокусы

​​365. Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причём каждый весит не больше 1 тонны. Какого наименьшего числа трёхтонок заведомо достаточно, чтобы увезти весь груз?

#олмат
#оценкаплюспример

366. В волшебной стране Лариколяндия 100 городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Известно, что из каждого города выходит более 90 авиалиний. Докажите, что найдутся 12 городов, попарно соединенных авиалиниями.

#олмат
#графы

​​367. В школе организовали n (n > 1) кружков. Оказалось, что для любых двух школьников есть кружок, в который ходит ровно один из них, а для любых трёх школьников есть либо кружок, в который ходят все трое, либо кружок, в который не ходит ни один из них. Какое наибольшее количество учеников может быть в этой школе?

#олмат #текстовыезадачи

​​368. Семья ночью подошла к мосту. Арья может перейти его за 1 минуту, Джон за 2, Санса — за 5, а Ходор — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком нельзя.)

#олмат
#классика

​​369. Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pⁿ, где p – простое число, n = 0, 1, 2, 3, ... . Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

#олмат #матигры

370. Есть сетка из бикфордова шнура, образующая поле 5×5 клеток, причём каждая сторона каждой клетки горит ровно 1 минуту. В каком наименьшем количестве точек можно поджечь сетку, чтобы она сгорела за 1 минуту?

#олмат
#оценкаплюспример

​371. На каждой половинке кости домино указано число очков – от 0 до некоторого N, большего 1. Все возможные пары чисел встречаются по одному разу (включая «дубли» – пары одинаковых чисел). Все кости домино выложены в цепочку, причем на прилегающих половинках соседних костей стоят одинаковые числа. Могут ли на концах цепочки стоять различные числа?

#олмат
#комбинаторика

​372. Имеются 2 красных, 2 зелёных и 2 синих шара. Известно, что есть один легкий и один тяжелый шар каждого цвета, причем все тяжелые и все легкие шары весят одинаково. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечные весах без гирь можно найти все легкие и все тяжелые шары?

#олмат
#взвешивания

​373. Про нечетную непрерывную функцию f(x) известно, что для любого x выполнено f(2x) = 2f(x). Верно ли, что функция f(x) линейная?

#матан
#шад

374. В стране Далекой провинция называется крупной, если в ней живет более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся две провинции с меньшим населением такие, что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далекой?

#олмат
#оценкаплюспример

375. Существует ли четырехугольник, который можно одной прямой разбить на прямоугольный треугольник и прямоугольник, а другой прямой – на прямоугольный и равносторонний треугольники?

#олмат
#геом

​376. В зоопарке живёт 10 слонов. Известно, что любые 4 слона весят в сумме больше, чем любые 3. Верно ли, что любые 5 слонов весят в сумме больше, чем любые 4?

#олмат

377. На доске выписано несколько составных двузначных чисел. Известно, что любые два числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?

#олмат
#оценкаплюспример