335. В стране 10 городов. Возможно ли проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило по 3 дороги и из каждого города в каждый можно было бы добраться по дорогам, заходя не более, чем в один промежуточный город?

#олмат
#графы

336. У числа 2018! вычислили сумму цифр. У полученного числа опять вычислили сумму цифр. И так продолжали до тех пор, пока не получилось однозначное число. Что это было за число?

#олмат
#тч

337. Известно, что a/(b+c)=b/(a+c)=c/(a+b)=x. Найдите x.

#олмат
#алгебра

338. Возможен ли треугольник, высоты которого равны 3, 4 и 5?

#олмат
#геом

339. Можно ли в квадрате 4×4 расставить числа от 1 до 16 так, чтобы в каждом квадратике 2×2 сумма чисел делилась на 16?

#олмат
#тч

​​340. Двадцать городов соединены 172 авиалиниями. Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).

#олмат
#графы

​341. Крош хочет порадовать Ёжика и вставить в торт к его дню рождения свечки в форме некоторого выражения, значение которого есть натуральное число меньшее 100 (возраст Ёжика). Более того, он собирается использовать одни и те же цифры каждый год. Также у Кроша есть свечка в виде знака "×". Необходимо, чтобы каждый год Крош смог составлять возраст Ёжика с помощью этих свечек. Какое наименьшее количество свечек-цифр ему для этого потребуется?

#олмат
#оценкаплюспример

​​342. Аня, Алиса и Даша играли в настольный теннис. Проигравший партию всякий раз уступал место тому, кто в ней не участвовал. За день Аня сыграла 10 партий, Алиса — 21 партию. Сколько партий сыграла Даша?

#олмат
#турниры

​​​Ещё раз напоминаем про наш новый канал, посвященный вопросам ЧГК. Если вы с нами, потому что умеете по настоящему ценить красоту таких вопросов, то обязательно подписывайтесь: @ezhidze_chgk

343. Вова Брагин утверждает, что любые 100 точек на плоскости можно разбить на две группы так, чтобы никакая прямая не отделяла одну группу от другой. Прав ли Вова?

#олмат
#геом
#раскраски

344. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.

#олмат
#тч

345. На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

#олмат
#8класс

346. На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом каждые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Докажите, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру.

#олмат
#текстовыезадачи

347. Есть 20 гирек, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что если убрать произвольное число (возможно ноль) каких-то гирек, то оставшиеся нельзя разделить на две кучки с одинаковым весом. Докажите, что суммарный вес всех гирек не меньше 1 тонны.

#олмат
#9класс

​​348. В каплю воды, где находились 1000 бактерий, посадили один вирус. После этого каждую минуту стало происходить следующее: каждый вирус уничтожал по одной бактерии, после чего каждая бактерия делилась на две бактерии, а каждый вирус — на два вируса. Верно ли, что через некоторое время не останется ни одной бактерии?

#олмат
#8класс

​​349. Две карты Москвы разного масштаба наложены друг на друга так, что меньшая карта лежит целиком на большей (север у них в одном направлении). Докажите, что их можно проткнуть булавкой так, чтобы на обоих картах была проколота одна и та же точка Москвы.

#олмат
#9класс

​Для тех, кто не смог побывать сегодня на дне мехмата, выкладываем условия по математике

Начинаем выкладывать решения задач с Дня Мехмата.

350. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 228 членов — целые числа, а все остальные члены не являются целыми числами?

#олмат
#алгебра

351. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами, равна половине площади треугольника.

#олмат
#геометрия