316. Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизначное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?

#олмат
#тч

317. На шахматной доске стоят 10 шахматных фигур (слоны и ладьи), не бьющих друг друга. Какое наименьшее количество слонов может быть среди них?

#олмат
#оценкаплюспример
#шахматы

318. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH равны.

#олмат
#геом

​​319. В одну из голов стоглавого дракона пришла мысль расположить свои головы так, чтобы каждая находилась между двумя другими. Сможет ли он это сделать? (Головы дракона можно считать точками в пространстве)

#олмат
#8класс

320. Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?

#олмат
#геом
#тч

​(Ставим арбузы Копатычу)
321. Копатыч вырастил несколько арбузов. Три самых тяжелых арбуза (35% от общего веса арбузов) он оставил лежать до своего дня рождения, три самых маленьких арбуза (5/13 от общего веса оставшихся) он съел сразу, а остальные п̶о̶д̶а̶р̶и̶л̶ продал Карычу. Сколько всего арбузов он вырастил?

#олмат
#текстовыезадачи

322. На доске написано число 60. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить число на один из его натуральных делителей (в том числе на единицу или само это число). Если при этом получается нуль, игрок проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

323. Даны девять натуральных чисел, причем запись первого состоит только из единиц, второго — только из двоек, ..., девятого — только из девяток. Может ли произведение каких-то двух из этих чисел делиться на произведение остальных?

#олмат
#делимость

324. Рассмотрим график параболы y = x²+bx+1 (b² > 4), который пересекает ось абсцисс в двух точках A и B, а ось ординат в точке С. Пусть A' --- точка, симметричная точке A относительно начала координат. Найдите радиус описанной окружности треугольника A'BC.

#олмат
#квадратныйтрехчлен

​​325. Есть два бикфордовых шнура, каждый из которых горит по часу, но горит неравномерно. Как с помощью этих двух шнуров и спичек отмерить 45 минут?

#олмат
#алгоритмы

​326. Есть бильярдный стол, который имеет вид правильного шестиугольника со стороной 1. Лузы располагаются в вершинах шестиугольника. Изначально бильярдный шар лежит в центре стола. Какое минимальное расстояние он должен прокатиться, чтобы попасть в лузу с двумя отскоками от бортов?


Пояснение: удар шара о борт - упругий (угол падения равен углу отражения). Считаем, что размеры шара и лузы очень малы (они являются точками).

#олмат
#геометрия

327. Является ли число 4⁹+6¹⁰+3²⁰ простым?

#олмат
#тч

328. (Формула Эйлера). Пусть связный плоский граф с V вершинами и E ребрами разрезает плоскость на F связных кусков (граней). Тогда V−E+F=2.

#олмат
#графы

329. На столе лежат 100 спичек. Двое ходят по очереди. За один ход можно взять 1, 2, 4, 8, . . . (любую степень двойки) спичек. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнёр?

#олмат
#матигры

​​330. На Олимпе есть игра: всем богам наливают поровну амброзии, затем один бог переливает другому столько амброзии, сколько у того уже было, и это повторяется несколько раз. Однажды удалось слить всю амброзию в чашу Зевса. Докажите, что количество богов является степенью двойки.

#олмат
#подсчетдвумяспособами

331. Можно ли все натуральные числа раскрасить в два цвета так, чтобы не было бесконечной арифметической прогрессии одного цвета?

#олмат
#10класс

332. а) Выписаны числа от 1 до 13. Раскрасьте их в два цвета так, чтобы отношение чисел одинакового цвета не было простым числом.

б) Выписаны 100 произвольных натуральных чисел. Докажите, что их можно покрасить в два цвета так, чтобы отношение чисел одинакового цвета не было простым числом.

#олмат
#тч
#раскраски

333. За одну операцию из числа разрешается вычесть его наибольший делитель, не равный самому числу. За сколько операций из числа 10¹⁰ получится сделать число 1?

#олмат
#тч
#сколтех

334. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее — полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

#олмат
#алгебра