242. Известно, что a³+b³+c³ кратно 7. Верно ли, что abc кратно 7?

#олмат
#тч

243. Дан произвольный граф. Надо расставить в его вершинах целые числа так, чтобы выполнялись два условия:
1) если две вершины соединены ребром, то числа в них имеют общий делитель;
2) если две вершины не соединены ребром, то числа в них взаимно просты.
Всегда ли можно так сделать?

#олмат
#графы

244. Темные эльфы всегда лгут, а светлые говорят правду. Внешне они неотличимы. Эльфы знают все языки, но говорят только по-эльфийски. Мы знаем, что "Эльк" и "Фьюй" означают "Да" и "Нет", но какое что -- неизвестно. Какой вопрос надо задать, чтобы определить светлый перед вами эльф или темный? (Вопрос должен подразумевать ответ "Да" или "Нет")

#олмат
#логика

245. На полях шахматной доски расставлены целые числа, причем никакое число не встречается дважды. Докажите, что есть пара соседних (по стороне) клеток, числа в которых отличаются не меньше, чем на 5.

#олмат
#9класс

​246. Между журналистом и знаменитым в прошлом тренером "Манчестер Юнайтед" Сэром Алексом Фергюссоном произошёл следующий диалог:
- Кто по вашему мнению является лучшим игроком на планете?
- Конечно же Криштиану Роналду.
- А как же Лионель Месси?
Что ответил Сэр Алекс?

#чгк

​​247. Между городами страны организованы двусторонние беспосадочные авиарейсы таким образом, что от каждого города до каждого другого можно добраться (возможно, с пересадками). Более того, для каждого города А, существует город B такой, что любой из остальных городов напрямую соединён либо с А, либо с B. Докажите, что от любого города добраться до любого другого не более, чем с двумя пересадками.

#олмат
#графы
#8класс

248. Докажите, что число 0,10100100010000... иррационально.

#олмат
#тч

​249. Докажите, что график кубического многочлена f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0) имеет центр симметрии.

#олмат
#10класс

250. Двое играют на шахматной доске 8×8. Первый -- ставит на любую клетку пешку. Далее они по очереди ее двигают на любую соседнюю клетку по вертикали или горизонтали, причем нельзя ставить пешку на поле, где она уже побывала. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выиграет при правильной игре -- первый или второй?

#олмат
#матигры

251. При каком N существует замкнутая N-звенная ломаная, которая пересекает себя по каждому звену ровно в одной точке? (пересечение не может происходить в концах звеньев и никакие 3 звена не пересекаются в одной точке)

#олмат
#8класс

252. Верно ли, что сумма цифр числа 3²⁰⁰ меньше 1000?

#олмат
#8класс

253. Перед входом в библиотеку стоят две доски. При входе в библиотеку человек считает сколько народу внутри и пишет на первой доске число. При выходе человек тоже считает сколько народу внутри и пишет число на второй доске. Докажите, что к закрытию библиотеки множества чисел на досках будут совпадать.

#олмат
#9класс

254. Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек — обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#8класс

255. Сколькими способами можно кинуть шесть кубиков так, чтобы сумма выпавших очков была кратна шести? (Кубики различимы)

#олмат
#комбинаторика

​​256. Докажите фокальное свойство эллипса.

#олмат
#геом

​257. Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остаётся на месте; аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу – конечную последовательность указанных команд, и даёт её пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написать такую программу, что ладья обойдет все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя?

#олмат
#информатика
#9класс

258. Верно ли, что среди чисел вида 2ⁿ+4ᵏ бесконечно много являются квадратами?

#олмат
#тч