422. В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₂₀₁₈. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

#олмат
#тч

​423. Решите уравнение в целых числах: x³ + y³ = 2³⁰.

#олмат
#тч

​​Вопрос 222. Кто был первым в Европе, кто использовал отрицательные числа?

#раздатка

​​424. Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам еще раз. Как разрезать полученный квадратик ножницами по прямой, чтобы салфетка распалась а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей?

#олмат
#разрезания

425. На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

#олмат
#текстовыезадачи

426. Сумма цифр натурального числа 3k−1 равна сумме цифр натурального числа 2k+2. Могут ли быть равными суммы цифр чисел 3k−2 и k+1?

#олмат
#тч

427. Назовем натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

#олмат
#тч

​​428. На доске написаны два числа: 23 и 29. Каждую минуту Гермиона одно из чисел на доске уменьшает на 1, а другое записывает в блокнот. Так она делает до тех пор, пока оба числа на доске не станут нулями. а) Сколько чисел будет написано в блокноте? б) Какова будет сумма этих чисел?

#олмат
#текстовыезадачи

​​429. В шахматном турнире по круговой системе (каждый играет с каждым ровно один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0) каждый из шахматистов, избежавших трех последних мест, половину своих очков набрал во встречах с тремя участниками, занявшими последние три места. Найдите наибольшее возможное количество участников турнира.

#олмат
#турниры

430. Аня Валиуллина задумала число. Каждую минуту она прибавляет к текущему числу его наибольший собственный делитель. Через 100 минут она получила число 56789. Докажите, что Аня ошиблась. (Делитель числа n называется собственным, если он отличен от n).

#олмат
#тч

431. Лист бумаги можно разрезать на 6 или 12 частей. Каждый новый кусок можно разрезать на 6 или 12 частей или оставить целым и так далее. а) Можно ли таким образом разрезать лист на 40 частей? б) Докажите, что таким образом можно получить любое число частей, большее 40.

#олмат
#разрезание

​​432. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

#олмат
#графы

​​433. Известно, что a, b, c, d > 0. Докажите, что

#олмат
#неравенства

​434. ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке E, а катетов AB и BC в точках F и G соответственно. FH — высота в треугольнике FEG. Докажите, что AH — биссектриса угла BAC.

#олмат
#геометрия

​435. Можно ли замостить доску 12x12 уголками из трех клеток так, чтобы любой вертикальный столбец и любая горизонтальная строка пересекали одинаковое число уголков?

#олмат

Назовем слово замечательным если оно не описывает само себя. Например, слово "десятибуквенное" замечательное, потому что в нем не десять букв. Является ли слово "замечательное" замечательным?

#парадоксы

​​436. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна.

#олмат
#геом

437. У Оли Маринчак есть 1000 карточек с числами 1, 2, ..., 1000. Она разделила все карточки на две кучки, и в обеих кучках составила длинное число из всех карточек. Могут ли эти два числа совпасть?

#олмат
#тч