476. Докажите, что существует бесконечно много троек натуральных чисел (m, n, k), таких, что m, n, k > 1 и m! ⋅ n! = k!.

#олмат
#тч

479. Найдите НОД всех шестизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений.

#олмат #тч

480. Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на 2, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на 3 — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, … , делится на 9, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.

#олмат
#тч

486. Множество А натуральных чисел таково, что для любого натурального n среди чисел n, 2n, 3n в А лежит ровно одно из них. Известно, что в А лежит двойка. Петя утверждает, что в А лежит 13824, прав ли он?

#олмат
#тч

​​488. Докажите, что число (a+b)(b+c)(a+c), где a, b, c -- попарно различные натуральные числа, не может быть степенью двойки.

#олмат
#тч

​​492. Докажите, что найдутся миллион идущих подряд натуральных чисел, среди которых ровно тысяча простых.

#олмат
#тч

​​493. Петя написал на доске натуральное число, а потом стер последнюю цифру и написал ее чуть выше, в показателе степени. Оказалось, что результат делится на первое написанное число. Какое максимальное число мог написать на доске Петя?

#олмат
#тч

​​496. Дана возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел. Известно, что у каждого числа ровно два различных простых делителя, причем для всех членов прогрессии эта пара одна и та же. Каково наибольшее возможное количество членов в такой прогрессии?

#олмат
#оценкаплюспример
#тч

499. Сумма трех наибольших натуральных делителей натурального числа N в 10 раз больше суммы трёх наименьших его натуральных делителей. Найдите все возможные значения N.

#олмат
#тч

​​505. Сергей Дурасов утверждает, что придумал 1000-значное число, делящееся на 2¹⁰⁰⁰, в записи которого участвуют только цифры 1 и 2. Не лукавит ли он?

#олмат
#тч

​​510. Дана бесконечная последовательность натуральных чисел, в которой каждое число, начиная со второго, равно количеству делителей предыдущего (включая единицу и само это число). В последовательности есть хотя бы четыре попарно различных числа, но нет двух полных квадратов подряд. Докажите, что она содержит степень четверки.

#олмат #тч

​​513. Вокруг стола с метровыми промежутками стоят p блюдец (p –– простое число), на каждом –– по одному печенью. Карлсон проходит вокруг стола k метров, останавливается и берёт печенье с блюдца. Затем Малыш, стартовав из того же места, проходит вокруг стола m метров, останавливается и берёт там печенье с блюдца. Потом Карлсон от места своей остановки идёт k метров и берёт печенье с блюдца (если оно там ещё осталось) и т. д. Все переходы они делают в одном направлении. Кому из них достанется больше печенья и на сколько, если k и m –– различные натуральные числа, меньшие p?

#олмат #тч