149. Плоскость случайным образом покрасили в два цвета.
а)Докажите, что найдутся две одноноцветные точки на расстоянии 1.
б)Докажите, что найдутся две разноцветные точки на расстоянии 1.

#олмат
#геометрия
#раскраски
#7класс

198. Прямая покрашена в два цвета. Докажите, что найдутся три одноцветные точки A, B и C такие, что точка B является серединой отрезка AC.

#олмат
#раскраски

278. Доску 8×8 покрасили в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 присутствуют все цвета. Докажите, что все угловые клетки таблицы покрашены в разные цвета.

#олмат
#раскраски

310. На прямой отмечено 9 красных и 9 синих точек. Всегда ли можно стереть по 4 точки каждого цвета так, чтобы оставшиеся пять точек каждого цвета располагались подряд?

#олмат
#раскраски

332. а) Выписаны числа от 1 до 13. Раскрасьте их в два цвета так, чтобы отношение чисел одинакового цвета не было простым числом.

б) Выписаны 100 произвольных натуральных чисел. Докажите, что их можно покрасить в два цвета так, чтобы отношение чисел одинакового цвета не было простым числом.

#олмат
#тч
#раскраски

343. Вова Брагин утверждает, что любые 100 точек на плоскости можно разбить на две группы так, чтобы никакая прямая не отделяла одну группу от другой. Прав ли Вова?

#олмат
#геом
#раскраски

363. Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

#олмат
#геом
#раскраски

​401. На каждой клетке таблицы 8х8 сидит по два таракана. По команде все они переползают в соседнюю по ребру клетку так, что два таракана, сидящие в одной клетке, не могут снова оказаться в одной. Какое наибольшее число клеток после этого могут быть свободными?

#олмат
#оценкаплюспример
#раскраски