343. Вова Брагин утверждает, что любые 100 точек на плоскости можно разбить на две группы так, чтобы никакая прямая не отделяла одну группу от другой. Прав ли Вова?

#олмат
#геом
#раскраски

363. Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

#олмат
#геом
#раскраски

375. Существует ли четырехугольник, который можно одной прямой разбить на прямоугольный треугольник и прямоугольник, а другой прямой – на прямоугольный и равносторонний треугольники?

#олмат
#геом

389. Могут ли биссектрисы двух внешних углов треугольника пересекаться на его описанной окружности?

#олмат
#геом

392. Расположите на плоскости 8 точек так, чтобы на серединном перпендикуляре к любому отрезку с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек.

#олмат
#геом
#конструктив

395. Через середину биссектрисы угла B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная ей. Может ли эта прямая пересекать отрезок AC?

#олмат
#геом

405. Внутри квадрата ABCD найдите все точки X, для которых AХ+CX = BX+DX.

#олмат
#геом

421. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

#олмат
#геом

​​436. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна.

#олмат
#геом

​​464. (Лемма Архимеда) Окружность α касается окружности ω в точке А, а хорды ВС касается в точке D. Прямая AD пересекает окружность ω в точке Е. Докажите, что точка Е — середина дуги ВЕС.

#олмат
#геом

​​494. В центре круглого бассейна плавает Аня. Внезапно к бассейну подошёл учитель по французскому. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем Аня плавает. Аня бегает быстрее. Сможет ли она убежать?

#олмат
#геом

​​500. Существует ли такая отличная от круга фигура, ограниченная отрезками и дугами окружностей, что все отрезки, делящие пополам ее периметр, имеют одинаковые длины?

#олмат
#геом

​514. На сторонах выпуклого четырёхугольника построены равносторонние треугольники во внутреннюю сторону. Оказалось, что треугольники, построенные на одной паре противоположных сторон, имеют общую вершину. Докажите, что треугольники, построенные на другой паре противоположных сторон, имеют общий центр.

#олмат #геом #планиметрия