430. Аня Валиуллина задумала число. Каждую минуту она прибавляет к текущему числу его наибольший собственный делитель. Через 100 минут она получила число 56789. Докажите, что Аня ошиблась. (Делитель числа n называется собственным, если он отличен от n).

#олмат
#тч

431. Лист бумаги можно разрезать на 6 или 12 частей. Каждый новый кусок можно разрезать на 6 или 12 частей или оставить целым и так далее. а) Можно ли таким образом разрезать лист на 40 частей? б) Докажите, что таким образом можно получить любое число частей, большее 40.

#олмат
#разрезание

​​432. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

#олмат
#графы

​​433. Известно, что a, b, c, d > 0. Докажите, что

#олмат
#неравенства

​434. ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке E, а катетов AB и BC в точках F и G соответственно. FH — высота в треугольнике FEG. Докажите, что AH — биссектриса угла BAC.

#олмат
#геометрия

​435. Можно ли замостить доску 12x12 уголками из трех клеток так, чтобы любой вертикальный столбец и любая горизонтальная строка пересекали одинаковое число уголков?

#олмат

Назовем слово замечательным если оно не описывает само себя. Например, слово "десятибуквенное" замечательное, потому что в нем не десять букв. Является ли слово "замечательное" замечательным?

#парадоксы

​​436. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна.

#олмат
#геом

437. У Оли Маринчак есть 1000 карточек с числами 1, 2, ..., 1000. Она разделила все карточки на две кучки, и в обеих кучках составила длинное число из всех карточек. Могут ли эти два числа совпасть?

#олмат
#тч

438. Двое игроков отмечают точки плоскости. Сначала первый отмечает точку красным цветом, затем второй отмечает 100 точек синим, затем первый снова одну точку красным, второй 100 точек синим и так далее. (Перекрашивать уже отмеченные точки нельзя.) Докажите, что первый может построить правильный треугольник с красными вершинами.

#олмат
#матигры

439. На доске было написано число 141. Каждую минуту у написанного на доске числа перемножают все цифры и полученное произведение либо прибавляют к числу, либо вычитают из него (а результат записывают на доску вместо исходного числа). Докажите, что число 141 больше никогда не появится на доске.

#олмат
#тч

440. Для каких N>1 существуют N натуральных чисел, сумма которых равна их произведению?

#олмат
#алгебра

441. Предложите набор из четырех гирек, каждая из которых весит целое число граммов, чтобы с их помощью на чашечных весах без делений можно было взвесить любой целочисленный вес от 1 до 40 граммов.

#олмат
#гири

Вопрос 239. Автор вопроса назвала Махмуда Хассана Трезеге, Марвана Мухсина и Амра Медхата Варда ИМ. Площадь другого ЕГО равна шести. Назовите ЕГО двумя словами.

442. Решите в целых числах уравнение: 3x²+3y²+3z²+2x+2y+2z=28071996.

#олмат
#уравнения
#алгебра

443. Имеются фишки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Рома и Даля по очереди берут фишки (каждый ход по одной фишке). Выигрывает тот игрок, который первым соберёт у себя три фишки с суммой 15. (Если ни у одного игрока таких фишек не будет, фиксируется ничья.) Начинает Даля. Может ли один из игроков обеспечить себе победу? Ничью?

#олмат
#матигры

444. На доске записано несколько трехзначных чисел. Все они составные, однако, любые два взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

#олмат
#оценкаплюспример
#тч

445. В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.

#олмат
#графы

446. Через p(n,k) обозначим количество делителей числа n, не меньших k. Найдите p(1001,1)+...+p(2000,1000).

#олмат
#тч

447. 100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

#олмат
#алгоритмы