346. На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом каждые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Докажите, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру.

#олмат
#текстовыезадачи

​​355. Восемь клеток доски 9×9 заросли можжевельником. Далее, если вокруг пустой клетки не меньше двух клеток, заросших можжевельником (по стороне), то она зарастает можжевельником. Докажите, что вся доска не зарастет можжевельником.

#олмат
#текстовыезадачи

​​367. В школе организовали n (n > 1) кружков. Оказалось, что для любых двух школьников есть кружок, в который ходит ровно один из них, а для любых трёх школьников есть либо кружок, в который ходят все трое, либо кружок, в который не ходит ни один из них. Какое наибольшее количество учеников может быть в этой школе?

#олмат #текстовыезадачи

​​391. На шахматной доске 8 × 8 стоит кубик (нижняя грань совпадает с одной из клеток доски). Его прокатили по доске, перекатывая через ребра, так что кубик побывал на всех клетках (на некоторых, возможно, несколько раз). Могло ли случиться, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?

#олмат
#текстовыезадачи

400. Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: на 1 квадратный дециметр в "обычном" случае, вдвое — если желание заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько — ещё всемеро, а ещё через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи? (Изначально площадь кожи выражается целым числом).

#олмат
#текстовыезадачи

​​408. В клетчатом квадрате 6×6, вначале пустом, Саша закрашивает по одной клетке, вписывая в каждую только что закрашенную клетку количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел в них будет равна 60.

#олмат
#текстовыезадачи

​​411. В авиакомпании 17 пилотов. Известно, что среди любых трех пилотов хотя бы два летали в одном экипаже. Докажите, что есть пилот, который летал в одном экипаже не менее чем с восемью другими.

#олмат
#текстовыезадачи

413. На новогоднюю ёлку отправились 30 учеников. Они построились парами так, что ровно половина всех девочек оказалась в парах с мальчиками. Докажите, что их не удастся перестроить так, чтобы ровно половина всех мальчиков оказалась в парах с девочками.

#олмат
#текстовыезадачи

425. На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

#олмат
#текстовыезадачи

​​428. На доске написаны два числа: 23 и 29. Каждую минуту Гермиона одно из чисел на доске уменьшает на 1, а другое записывает в блокнот. Так она делает до тех пор, пока оба числа на доске не станут нулями. а) Сколько чисел будет написано в блокноте? б) Какова будет сумма этих чисел?

#олмат
#текстовыезадачи

448. Таня Хадыева умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении n : (n + 1), где n — любое натуральное число. Таня утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом отношении m : k (m, k — натуральные). Права ли она?

#олмат
#тч
#текстовыезадачи

455. Лиза Яковлева поет в течение месяца не менее одной песни в день, но не более 12 песен в любую неделю. Докажите, что найдётся несколько последовательных дней, в течение которых она споет ровно 20 песен.

#олмат
#текстовыезадачи

​​458. Даня отметил на плоскости 100 точек, никакие три не лежат на одной прямой, и провел все возможные отрезки с концами в этих точках. Артем нарисовал прямую, которая не проходит через данные точки. Могло ли оказаться, что эта прямая пересекает ровно треть из отрезков, нарисованных Даней?

#олмат
#текстовыезадачи

​​468. На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных -- по две точки, и на двух оставшихся -- по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2×2×2 и посчитали суммарное число точек на каждой из шести его граней. Могло ли получиться шесть последовательных чисел?

#олмат
#текстовыезадачи

477. Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

#олмат
#текстовыезадачи

​​483. Международная комиссия состоит из 9 человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее 6 членов комиссии? (любые шесть человек должны открывать сейф, никакие 5 не должны)

#олмат
#текстовыезадачи

​​484. Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

#олмат
#текстовыезадачи

​​485. На столе 20×20 разбросано 96 салфеток 1×1 со сторонам, параллельными краям стола. Докажите, что можно положить еще одну такую салфетку, не пересекающуюся с уже лежащими (по положительной мере).

#олмат
#текстовыезадачи

​​497. Ежик стоит в левой нижней клетке поля 8×8. А в какой-то другой клетке пасется Лошадка. На поле стоит туман, ничего не видно, но ежику надо найти Лошадку. Лошадка каждую минуту переходит на соседнюю по стороне клетку и громко говорит, куда она перешла (влево, вправо, вверх или вниз). Ежик тоже может сделать шаг в одну из соседних по стороне или диагонали клеток, как только услышит Лошадку. Ежик найдет Лошадку, если окажется с ней на одной клетке. Что же делать Ежику?

#олмат
#текстовыезадачи